Chứng minh bất đẳng thức

[trananhtuan_hn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c dương. Chứng minh: $a^2+b^2+c^2$\geq $\frac{9abc}{a+b+c}+(c-a)^2$

 

[congchuaanhsang]

Cho a, b, c dương. Chứng minh: a^2+b^2+c^2\frac{9abc}{a+b+c}+(c-a)^2

Bđt cần cm tương đương với:

$a^2+b^2+c^2$ \geq $\dfrac{9abc}{a+b+c}+c^2-2ac+a^2$

\Leftrightarrow $b^2$ \geq $\dfrac{9abc}{a+b+c}-2ac$

\Leftrightarrow $b^2$ \geq $\dfrac{9abc-2ac(a+b+c)}{a+b+c}$

\Leftrightarrow $b^2$ \geq $\dfrac{7abc-2a^2c-2ac^2}{a+b+c}$ (*)

*Nếu $7abc-2a^2c-2ac^2$ \leq 0

VT(*) \geq 0 \Rightarrow VT(*) \geq VP(*)

*Nếu $7abc-2a^2c-2ac^2$ > 0

(*) \Leftrightarrow $ab^2+b^3+cb^2+2a^2c+2ac^2$ \geq $7abc$ (**)

Áp dụng Cauchy 7 số có:

VT(**) \geq $7\sqrt[7]{a^7b^7c^7}=7abc=VP(**)$

Vậy bđt được cm

 

[trananhtuan_hn]

Bđt cần cm tương đương với:

$a^2+b^2+c^2$ \geq $\dfrac{9abc}{a+b+c}+c^2-2ac+a^2$

\Leftrightarrow $b^2$ \geq $\dfrac{9abc}{a+b+c}-2ac$

\Leftrightarrow $b^2$ \geq $\dfrac{9abc-2ac(a+b+c)}{a+b+c}$

\Leftrightarrow $b^2$ \geq $\dfrac{7abc-2a^2c-2ac^2}{a+b+c}$ (*)

*Nếu $7abc-2a^2c-2ac^2$ \leq 0

VT(*) \geq 0 \Rightarrow VT(*) \geq VP(*)

*Nếu $7abc-2a^2c-2ac^2$ > 0

(*) \Leftrightarrow $ab^2+b^3+cb^2+2a^2c+2ac^2$ \geq $7abc$ (**)

Áp dụng Cauchy 7 số có:

VT(**) \geq $7\sqrt[7]{a^7b^7c^7}=7abc=VP(**)$

Vậy bđt được cm

Bạn còn phương án xử lí khác không ? Nếu không dùng Cauchy cho 7 số.

 

[su10112000a]

cách khác:
ta cần chứng minh:
$b^2 \ge \dfrac{9abc}{a+b+c}-2ac$
$\Longleftrightarrow b^2(a+b+c) \ge 9abc - 2ac(a+b+c)$
$\Longleftrightarrow (a+b+c)(b^2+ac+ac) \ge 9abc$
thệt vậy, ta có:
$(a+b+c)(b^2+ac+ac) \ge 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} =9abc$
$\Longrightarrow \mathfrak{dpcm}$

 

[huynhbachkhoa23]

Xoá giú p :|