Chứng minh bất đẳng thức 8

[Nguỵ Quân Tử]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực x,y,z thoả mãn $$x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 3$$
Chứng minh rằng
$$\frac{x^{2}}{1 + x^{4}} + \frac{y^{2}}{1 + y^{4}} + \frac{z^{2}}{1 + z^{4}} \leq \frac{3}{2}$$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Cho các số thực x,y,z thoả mãn $$x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 3$$
Chứng minh rằng
$$\frac{x^{2}}{1 + x^{4}} + \frac{y^{2}}{1 + y^{4}} + \frac{z^{2}}{1 + z^{4}} \leq \frac{3}{2}$$

Để cho dễ nhìn ta đặt :
$a^2=x,b^2=y,c^2=z$ khi đó $x+y+z \leq 3$.
Và điều phải chứng minh là $\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1} \leq \frac{3}{2}$.
Rõ ràng x,y,z đều dương khi đó ta có thể áp dụng AM-GM:

$$\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1} \\\leq \frac{x}{2x}+\frac{y}{2y}+\frac{z}{2z} \\=\frac{3}{2}$$
Bất đẳng thức được chứng minh hoàn tất !!
Dấu '=' khi $a=b=c=1$

 

[Nguỵ Quân Tử]

Để cho dễ nhìn ta đặt :
$a^2=x,b^2=y,c^2=z$ khi đó $x+y+z \leq 3$.
Và điều phải chứng minh là $\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1} \leq \frac{3}{2}$.
Rõ ràng x,y,z đều dương khi đó ta có thể áp dụng AM-GM:

$$\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1} \\\leq \frac{x}{2x}+\frac{y}{2y}+\frac{z}{2z} \\=\frac{3}{2}$$
Bất đẳng thức được chứng minh hoàn tất !!
Dấu '=' khi $a=b=c=1$

Chỗ đặt là sao bạn, mình không hiểu ?

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Chỗ đặt là sao bạn, mình không hiểu ?

à mình nhầm $x^2=a,y^2=b,z^2=c$ ~~.Cái chỗ đó bạn thay lại x,y,z là a,b,c nhé :v