Toán 9 Cho x,y,z>0x,y,z>0x+y+z32x+y+z\le \frac{3}2. Chứng minh rằng

Nguyễn Chi Xuyên

Cựu Hỗ trợ viên | Cựu CTV CLB Lịch Sử
HV CLB Địa lí
Thành viên
2 Tháng tám 2019
1,315
4,452
446
Bình Định
THCS Nhơn Hòa
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z>0x,y,z>0x+y+z32x+y+z\le \dfrac{3}2. Chứng minh rằng
x2+1x2+y2+1y2+z2+1z23217\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\ge \dfrac{3}2\sqrt{17}Giúp mình câu này với mình cảm ơn ạ
 

Attachments

  • IMG_20220626_014108.jpg
    IMG_20220626_014108.jpg
    32.3 KB · Đọc: 5
Last edited by a moderator:
  • Like
Reactions: 2712-0-3

2712-0-3

Cựu TMod Toán
Thành viên
5 Tháng bảy 2021
1,068
1,741
206
Bắc Ninh
THPT đợi thi
Giúp mình câu này với mình cảm ơn ạ
Nguyễn Chi XuyênBài này anh thấy khá nhiều cách, anh sẽ chứng minh bằng bất đẳng thức Cauchy kết hợp Bunhiacopxki nhé
Trước hết, áp dụng Bunhiacopxki ta có:
(x2+1x2)(14+4)x2+2x\sqrt{(x^2+\dfrac{1}{x^2})(\dfrac{1}{4} + 4)} \geq \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{x}
Tương tự, cộng vế ta được: 172VTx+y+z2+2(1x+1y+1z)\dfrac{\sqrt{17}}{2} VT \geq \dfrac{x+y+z}{2} + 2 (\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z})
172VT2(4x+1x+4y+1y+4z+1z)152(x+y+z)\Rightarrow \dfrac{\sqrt{17}}{2} VT \geq 2(4x+\dfrac{1}{x}+4y+\dfrac{1}{y}+4z+\dfrac{1}{z}) -\dfrac{15}{2} (x+y+z) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
4x+1x44x + \dfrac{1}{x} \geq 4
Tương tự, kết hợp (1) ta có
172VT2(4+4+4)152(x+y+z)514VT3172\dfrac{\sqrt{17}}{2} VT \geq 2 (4+4+4) -\dfrac{15}{2} (x+y+z) \geq \dfrac{51}{4} \Rightarrow VT \geq \dfrac{3\sqrt{17}}{2}
Dấu = xảy ra khi x=y=z=12x=y=z=\dfrac{1}{2}

Ngoài ra mời em tham khảo tại: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
 
  • Love
Reactions: Nguyễn Chi Xuyên
Top Bottom