Toán 9 Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z\le \frac{3}2$. Chứng minh rằng

[Nguyễn Chi Xuyên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [imath]x,y,z>0[/imath] và [imath]x+y+z\le \dfrac{3}2[/imath]. Chứng minh rằng
[math]\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\ge \dfrac{3}2\sqrt{17}[/math]Giúp mình câu này với mình cảm ơn ạ

 

[2712-0-3]

Giúp mình câu này với mình cảm ơn ạ

Nguyễn Chi XuyênBài này anh thấy khá nhiều cách, anh sẽ chứng minh bằng bất đẳng thức Cauchy kết hợp Bunhiacopxki nhé
Trước hết, áp dụng Bunhiacopxki ta có:
[imath]\sqrt{(x^2+\dfrac{1}{x^2})(\dfrac{1}{4} + 4)} \geq \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{x}[/imath]
Tương tự, cộng vế ta được: [imath]\dfrac{\sqrt{17}}{2} VT \geq \dfrac{x+y+z}{2} + 2 (\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z})[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{\sqrt{17}}{2} VT \geq 2(4x+\dfrac{1}{x}+4y+\dfrac{1}{y}+4z+\dfrac{1}{z}) -\dfrac{15}{2} (x+y+z)[/imath] (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
[imath]4x + \dfrac{1}{x} \geq 4[/imath]
Tương tự, kết hợp (1) ta có
[imath]\dfrac{\sqrt{17}}{2} VT \geq 2 (4+4+4) -\dfrac{15}{2} (x+y+z) \geq \dfrac{51}{4} \Rightarrow VT \geq \dfrac{3\sqrt{17}}{2}[/imath]
Dấu = xảy ra khi [imath]x=y=z=\dfrac{1}{2}[/imath]

Ngoài ra mời em tham khảo tại: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức