Toán 12 Cho x, y thoả mãn điều kiện cho trước tìm gtnn của biểu thức P

Thảo luận trong 'Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất' bắt đầu bởi Atepai, 1 Tháng mười hai 2020.

Lượt xem: 214

  1. Atepai

    Atepai Học sinh mới Thành viên

    Bài viết:
    144
    Điểm thành tích:
    11
    Nơi ở:
    Long An
    Trường học/Cơ quan:
    Lê Quý Đôn - Long An
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Cho các số thực x, y thoả mãn
    x+y= 2(√(x-3)+ √(y+3)). Hỏi giá trị nhỏ nhất của P= 4([tex](x^{2} + y^{2}) +15xy[/tex]
    A. -80. B. -91. C. - 83. D. -63
    Với lại cho hỏi nhập công thức căn ở đâu vậy, mình tìm không ra
     
  2. trungtech1908

    trungtech1908 Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    43
    Điểm thành tích:
    21
    Nơi ở:
    Đồng Nai
    Trường học/Cơ quan:
    THPT sông ray

    [tex]x+y=2(\sqrt{x-3}+\sqrt{y+3})=(x-3-2\sqrt{x-3}+1)+(y+3-2\sqrt{y+3}+1)=2=(\sqrt{x-3}-1)^2+(\sqrt{y+3}-1)^2=2 [/tex]
    Áp dụng bất đẳng thức cô-si, ta có:
    [tex](\sqrt{x-3}-1)^2+(\sqrt{y+3}-1)^2\geq 2.(\sqrt{x-3}-1).(\sqrt{y+3}-1)[/tex]
    Dấu '=' xảy ra khi:
    +[tex]\sqrt{x-3}-1=\sqrt{y+3}-1[/tex]
    +[tex](\sqrt{x-3}-1).(\sqrt{y+3}-1)=1[/tex] vì [tex](\sqrt{x-3}-1)^2+(\sqrt{y+3}-1)^2=2.1[/tex] và [tex](\sqrt{x-3}-1)^2+(\sqrt{y+3}-1)^2\geq 2.(\sqrt{x-3}-1).(\sqrt{y+3}-1)[/tex] buộc nếu muốn xảy ra dấu '=' thì [tex](\sqrt{x-3}-1).(\sqrt{y+3}-1)=1[/tex]
    Suy ra:
    [tex]\sqrt{x-3}-1=1[/tex] hoặc [tex]\sqrt{x-3}-1=-1[/tex]
    [tex]\sqrt{y+3}-1=1[/tex] hoặc [tex]\sqrt{y+3}-1=-1[/tex]
    Đến đây thì bạn tính hết nghiệm x, y xem P nào nhỏ hơn thì lấy, đáp án là -63
    Mình từ 11 lên 12 nên không có rành về mấy cái kiểu làm của 12 lắm, nếu có sai sót mong mọi người giúp đỡ
     
    Last edited: 18 Tháng sáu 2021
    kido2006 thích bài này.
  3. kido2006

    kido2006 Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    812
    Điểm thành tích:
    146
    Nơi ở:
    Bắc Ninh
    Trường học/Cơ quan:
    THCS Đại Phúc

    đk:[tex]x\geq 3;y\geq -3[/tex][tex]\Rightarrow (x+3)(y+3)\geq 0\Leftrightarrow xy\geq -3(x+y)-9[/tex]
    Có:[tex]x+y=2(\sqrt{x-3}+\sqrt{y+3})\Rightarrow (x+y)^2=4(x+y+2\sqrt{(x-3)(y+3)})\geq 4(x+y)\Rightarrow x+y\geq 4[/tex]
    [tex]\Rightarrow P=4(x^2+y^2)+15xy=4(x+y)^2+7xy\geq 4(x+y)^2-21(x+y)-63=(x+y)(4x+4y-21)-63\geq 4.(4.4-21)-63=-83[/tex]
    [tex]\Rightarrow[/tex] Chọn C
     
    DABE Kawasaki, trungtech1908Tungtom thích bài này.
  4. iceghost

    iceghost Cựu Phó nhóm Toán Thành viên TV BQT xuất sắc nhất 2016

    Bài viết:
    4,603
    Điểm thành tích:
    891
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    Đại học Bách Khoa TPHCM

    Góp một cách hơi "bủh" một tí:
    gt $\implies (\sqrt{x - 3} - 1)^2 + (\sqrt{y + 3} - 1)^2 = 2$
    Đặt $\sqrt{x - 3} - 1 = \sqrt{2} \cos \varphi$ và $\sqrt{y + 3} - 1 = \sqrt{2} \sin \varphi$
    Chú ý điều kiện của căn, suy ra $-\frac{\pi}4 \leqslant \varphi \leqslant \frac{3\pi}4$
    Khi đó $P = 4((\sqrt{2} \cos \varphi + 1)^2 + 3)^2 + 4((\sqrt{2} \sin \varphi + 1)^2 - 3)^2 + 15((\sqrt{2} \cos \varphi + 1)^2 + 3)((\sqrt{2} \sin \varphi + 1)^2 - 3)$
    Khi đó dùng TABLE trên máy tính cầm tay để suy ra GTNN là $-83$, xảy ra tại $\varphi = -\frac{\pi}4$
     
    Duy Quang Vũ 2007, kido2006Tungtom thích bài này.
  5. trungtech1908

    trungtech1908 Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    43
    Điểm thành tích:
    21
    Nơi ở:
    Đồng Nai
    Trường học/Cơ quan:
    THPT sông ray

    Vậy cách của mình sai chỗ nào nhỉ
     
    gaxriu nguyên thích bài này.
  6. kido2006

    kido2006 Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    812
    Điểm thành tích:
    146
    Nơi ở:
    Bắc Ninh
    Trường học/Cơ quan:
    THCS Đại Phúc

    Theo như dấu = của anh thì sẽ ra đc [tex]x=7;y=-3[/tex] rồi anh thay vào ra [tex]P_{min}=-83[/tex]
    Em nghĩ anh thay sai
     
  7. trungtech1908

    trungtech1908 Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    43
    Điểm thành tích:
    21
    Nơi ở:
    Đồng Nai
    Trường học/Cơ quan:
    THPT sông ray

    anh chịu luôn, thay chuẩn r mà
    x=7 và y=1 hoặc x=3 và y=-3, chứ sao x=7; y=-3 được
    Ráng coi lại dùm anh xíu, thank you :)
     
  8. Darkness Evolution

    Darkness Evolution Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    529
    Điểm thành tích:
    121
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc
    Trường học/Cơ quan:
    THCS Vĩnh Yên

    Em nghĩ là nó sai ngay từ đoạn đầu r
    Đâu chắc [tex]\sqrt{x-3}-1=\sqrt{y+3}-1[/tex] đâu, nó có thể chạy lung tung mà
     
  9. iceghost

    iceghost Cựu Phó nhóm Toán Thành viên TV BQT xuất sắc nhất 2016

    Bài viết:
    4,603
    Điểm thành tích:
    891
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    Đại học Bách Khoa TPHCM

    Cách của bạn còn không đụng tới $P$ mà, sao đúng được :D Tại sao dấu bằng của bđt bạn dùng lại dẫn đến $P$ nhỏ nhất?

    Nếu bạn sử dụng $a^2 + b^2 \geqslant 2|ab|$ thì sẽ cho ra điểm rơi đúng đấy. Nhưng quan trọng là mọi thứ chỉ dừng lại ở mức phỏng đoán. Bạn chỉ mới tìm được $a, b$ để $P = -83$ chứ chưa chứng minh không tồn tại $a, b$ để $P$ đạt đáp số nhỏ hơn, như ở câu B.
     
    Nguyễn Đăng Bình thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY