Toán 12 Cho x, y thoả mãn điều kiện cho trước tìm gtnn của biểu thức P

[Atepai]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực x, y thoả mãn
x+y= 2(√(x-3)+ √(y+3)). Hỏi giá trị nhỏ nhất của P= 4([tex](x^{2} + y^{2}) +15xy[/tex]
A. -80. B. -91. C. - 83. D. -63
Với lại cho hỏi nhập công thức căn ở đâu vậy, mình tìm không ra

 

[trungtech1908]

[tex]x+y=2(\sqrt{x-3}+\sqrt{y+3})=(x-3-2\sqrt{x-3}+1)+(y+3-2\sqrt{y+3}+1)=2=(\sqrt{x-3}-1)^2+(\sqrt{y+3}-1)^2=2 [/tex]
Áp dụng bất đẳng thức cô-si, ta có:
[tex](\sqrt{x-3}-1)^2+(\sqrt{y+3}-1)^2\geq 2.(\sqrt{x-3}-1).(\sqrt{y+3}-1)[/tex]
Dấu '=' xảy ra khi:
+[tex]\sqrt{x-3}-1=\sqrt{y+3}-1[/tex]
+[tex](\sqrt{x-3}-1).(\sqrt{y+3}-1)=1[/tex] vì [tex](\sqrt{x-3}-1)^2+(\sqrt{y+3}-1)^2=2.1[/tex] và [tex](\sqrt{x-3}-1)^2+(\sqrt{y+3}-1)^2\geq 2.(\sqrt{x-3}-1).(\sqrt{y+3}-1)[/tex] buộc nếu muốn xảy ra dấu '=' thì [tex](\sqrt{x-3}-1).(\sqrt{y+3}-1)=1[/tex]
Suy ra:
[tex]\sqrt{x-3}-1=1[/tex] hoặc [tex]\sqrt{x-3}-1=-1[/tex]
[tex]\sqrt{y+3}-1=1[/tex] hoặc [tex]\sqrt{y+3}-1=-1[/tex]
Đến đây thì bạn tính hết nghiệm x, y xem P nào nhỏ hơn thì lấy, đáp án là -63
Mình từ 11 lên 12 nên không có rành về mấy cái kiểu làm của 12 lắm, nếu có sai sót mong mọi người giúp đỡ

 

[kido2006]

Cho các số thực x, y thoả mãn
x+y= 2(√(x-3)+ √(y+3)). Hỏi giá trị nhỏ nhất của P= 4([tex](x^{2} + y^{2}) +15xy[/tex]
A. -80. B. -91. C. - 83. D. -63
Với lại cho hỏi nhập công thức căn ở đâu vậy, mình tìm không ra

đk:[tex]x\geq 3;y\geq -3[/tex][tex]\Rightarrow (x+3)(y+3)\geq 0\Leftrightarrow xy\geq -3(x+y)-9[/tex]
Có:[tex]x+y=2(\sqrt{x-3}+\sqrt{y+3})\Rightarrow (x+y)^2=4(x+y+2\sqrt{(x-3)(y+3)})\geq 4(x+y)\Rightarrow x+y\geq 4[/tex]
[tex]\Rightarrow P=4(x^2+y^2)+15xy=4(x+y)^2+7xy\geq 4(x+y)^2-21(x+y)-63=(x+y)(4x+4y-21)-63\geq 4.(4.4-21)-63=-83[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] Chọn C

 

[iceghost]

Cho các số thực x, y thoả mãn
x+y= 2(√(x-3)+ √(y+3)). Hỏi giá trị nhỏ nhất của P= 4([tex](x^{2} + y^{2}) +15xy[/tex]
A. -80. B. -91. C. - 83. D. -63
Với lại cho hỏi nhập công thức căn ở đâu vậy, mình tìm không ra

Góp một cách hơi "bủh" một tí:
gt $\implies (\sqrt{x - 3} - 1)^2 + (\sqrt{y + 3} - 1)^2 = 2$
Đặt $\sqrt{x - 3} - 1 = \sqrt{2} \cos \varphi$ và $\sqrt{y + 3} - 1 = \sqrt{2} \sin \varphi$
Chú ý điều kiện của căn, suy ra $-\frac{\pi}4 \leqslant \varphi \leqslant \frac{3\pi}4$
Khi đó $P = 4((\sqrt{2} \cos \varphi + 1)^2 + 3)^2 + 4((\sqrt{2} \sin \varphi + 1)^2 - 3)^2 + 15((\sqrt{2} \cos \varphi + 1)^2 + 3)((\sqrt{2} \sin \varphi + 1)^2 - 3)$
Khi đó dùng TABLE trên máy tính cầm tay để suy ra GTNN là $-83$, xảy ra tại $\varphi = -\frac{\pi}4$

 

[trungtech1908]

đk:[tex]x\geq 3;y\geq -3[/tex][tex]\Rightarrow (x+3)(y+3)\geq 0\Leftrightarrow xy\geq -3(x+y)-9[/tex]
Có:[tex]x+y=2(\sqrt{x-3}+\sqrt{y+3})\Rightarrow (x+y)^2=4(x+y+2\sqrt{(x-3)(y+3)})\geq 4(x+y)\Rightarrow x+y\geq 4[/tex]
[tex]\Rightarrow P=4(x^2+y^2)+15xy=4(x+y)^2+7xy\geq 4(x+y)^2-21(x+y)-63=(x+y)(4x+4y-21)-63\geq 4.(4.4-21)-63=-83[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] Chọn C

Vậy cách của mình sai chỗ nào nhỉ

 

[kido2006]

Vậy cách của mình sai chỗ nào nhỉ

Theo như dấu = của anh thì sẽ ra đc [tex]x=7;y=-3[/tex] rồi anh thay vào ra [tex]P_{min}=-83[/tex]
Em nghĩ anh thay sai

 

[trungtech1908]

Theo như dấu = của anh thì sẽ ra đc [tex]x=7;y=-3[/tex] rồi anh thay vào ra [tex]P_{min}=-83[/tex]
Em nghĩ anh thay sai

anh chịu luôn, thay chuẩn r mà
x=7 và y=1 hoặc x=3 và y=-3, chứ sao x=7; y=-3 được
Ráng coi lại dùm anh xíu, thank you

 

[Darkness Evolution]

[tex]x+y=2(\sqrt{x-3}+\sqrt{y+3})=(x-3-2\sqrt{x-3}+1)+(y+3-2\sqrt{y+3}+1)=2=(\sqrt{x-3}-1)^2+(\sqrt{y+3}-1)^2=2 [/tex]
Áp dụng bất đẳng thức cô-si, ta có:
[tex](\sqrt{x-3}-1)^2+(\sqrt{y+3}-1)^2\geq 2.(\sqrt{x-3}-1).(\sqrt{y+3}-1)[/tex]
Dấu '=' xảy ra khi:
+[tex]\sqrt{x-3}-1=\sqrt{y+3}-1[/tex]
+[tex](\sqrt{x-3}-1).(\sqrt{y+3}-1)=1[/tex] vì [tex](\sqrt{x-3}-1)^2+(\sqrt{y+3}-1)^2=2.1[/tex] và [tex](\sqrt{x-3}-1)^2+(\sqrt{y+3}-1)^2\geq 2.(\sqrt{x-3}-1).(\sqrt{y+3}-1)[/tex] buộc nếu muốn xảy ra dấu '=' thì [tex](\sqrt{x-3}-1).(\sqrt{y+3}-1)=1[/tex]
Suy ra:
[tex]\sqrt{x-3}-1=1[/tex] hoặc [tex]\sqrt{x-3}-1=-1[/tex]
[tex]\sqrt{y+3}-1=1[/tex] hoặc [tex]\sqrt{y+3}-1=-1[/tex]
Đến đây thì bạn tính hết nghiệm x, y xem P nào nhỏ hơn thì lấy, đáp án là -63
Mình từ 11 lên 12 nên không có rành về mấy cái kiểu làm của 12 lắm, nếu có sai sót mong mọi người giúp đỡ

Em nghĩ là nó sai ngay từ đoạn đầu r
Đâu chắc [tex]\sqrt{x-3}-1=\sqrt{y+3}-1[/tex] đâu, nó có thể chạy lung tung mà

 

[iceghost]

anh chịu luôn, thay chuẩn r mà
x=7 và y=1 hoặc x=3 và y=-3, chứ sao x=7; y=-3 được
Ráng coi lại dùm anh xíu, thank you

Cách của bạn còn không đụng tới $P$ mà, sao đúng được Tại sao dấu bằng của bđt bạn dùng lại dẫn đến $P$ nhỏ nhất?

Nếu bạn sử dụng $a^2 + b^2 \geqslant 2|ab|$ thì sẽ cho ra điểm rơi đúng đấy. Nhưng quan trọng là mọi thứ chỉ dừng lại ở mức phỏng đoán. Bạn chỉ mới tìm được $a, b$ để $P = -83$ chứ chưa chứng minh không tồn tại $a, b$ để $P$ đạt đáp số nhỏ hơn, như ở câu B.