D
D
dragon_promise
Mình xin góp 1bài.
Cho a,b,c là các số nguyên dương thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX].Chứng minh rằng
[TEX]\frac{ac}{b^{2}(a+c)}+\frac{ab}{c^{2}(a+b)}+\frac{bc}{a^{2}(b+c)}\geq[/TEX] [TEX]\frac {3}{2}[/TEX]
Cho a,b,c là các số nguyên dương thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX].Chứng minh rằng
[TEX]\frac{ac}{b^{2}(a+c)}+\frac{ab}{c^{2}(a+b)}+\frac{bc}{a^{2}(b+c)}\geq[/TEX] [TEX]\frac {3}{2}[/TEX]
D
dragon_promise
Xin bổ sung BĐT cộng mẫu (Schwarz) với bộ 2,3 số:
[TEX]\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq \frac{(a+b)^2}{x+y} \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi:[TEX]\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}[/TEX]
*BĐT Cô-si cho 3 số không âm:
[TEX]x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}[/TEX](Với trình độ lớp 8 thì BĐT chỉ để tận dụng điều kiện xyz=k với k cho trước)
[TEX]\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq \frac{(a+b)^2}{x+y} \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi:[TEX]\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}[/TEX]
*BĐT Cô-si cho 3 số không âm:
[TEX]x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}[/TEX](Với trình độ lớp 8 thì BĐT chỉ để tận dụng điều kiện xyz=k với k cho trước)
D
dragon_promise
Tổng quát CôSi cho không âm luôn[TEX] a_{1}+ a_{2} + .. +a_n [/TEX]\geq[TEX] \sqrt[n]{n}_{a_{1}a_{2}..a_{1} a_n} [/TEX]
>->->->->->->-
>->->->->->->-
Last edited by a moderator:
D
dragon_promise
Sau đây là một số bài dành cho các bạn lớp 8-cũng khá đơn giản:
a, Cho [TEX]{a^2} + {b^2}=[/TEX] 1 và [TEX]{m^2} + {n^2} = 1.[/TEX] CM:[TEX]|am + bn| \le 1[/TEX]
b,Cho [TEX]x,y,x[/TEX] thỏa mãn:[TEX] xy + yz + yz = 4.CM: {x^4} + {y^4} + {z^4} \ge \frac{{16}}{3}[/TEX]
c, Cho a+b=2. CM:[TEX] {a^4} + {b^4} \ge {a^3} + {b^3}[/TEX]
d, Cho a+b+c=3. CM:[TEX] {a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3}[/TEX]
e, Cho x,y,z>0 và x+y+z=4. CM:[TEX] x + y \ge xyz[/TEX]
f, Cho x,y>0 và [TEX]{x^3} + {y^3} = x - y. CM: {x^2} + {y^2} < 1[/TEX]
g,Cho a+b=1. Cm:[TEX]{a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2} [/TEX]và [TEX]{a^4} + {b^4} \ge \frac{1}{8}[/TEX]
h,Cho x,y,z>0. CM: [TEX] \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \ge 3 [/TEX]và [TEX]\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{z^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{x^2}}} \ge \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}[/TEX]
i, Cho x,y,z>0. và [TEX]{x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{5}{3}. CM:\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{z} < \frac{1}{{xyz}}[/TEX]
l, Cho [TEX]- 1 \le x,y,z \le 2 và x+y+z=0[/TEX]Cm:[TEX] {x^2} + {y^2} + {z^2} \le 6[/TEX]
Bài này hay >>>>>>>>>>>
a, Cho [TEX]{a^2} + {b^2}=[/TEX] 1 và [TEX]{m^2} + {n^2} = 1.[/TEX] CM:[TEX]|am + bn| \le 1[/TEX]
b,Cho [TEX]x,y,x[/TEX] thỏa mãn:[TEX] xy + yz + yz = 4.CM: {x^4} + {y^4} + {z^4} \ge \frac{{16}}{3}[/TEX]
c, Cho a+b=2. CM:[TEX] {a^4} + {b^4} \ge {a^3} + {b^3}[/TEX]
d, Cho a+b+c=3. CM:[TEX] {a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3}[/TEX]
e, Cho x,y,z>0 và x+y+z=4. CM:[TEX] x + y \ge xyz[/TEX]
f, Cho x,y>0 và [TEX]{x^3} + {y^3} = x - y. CM: {x^2} + {y^2} < 1[/TEX]
g,Cho a+b=1. Cm:[TEX]{a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2} [/TEX]và [TEX]{a^4} + {b^4} \ge \frac{1}{8}[/TEX]
h,Cho x,y,z>0. CM: [TEX] \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \ge 3 [/TEX]và [TEX]\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{z^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{x^2}}} \ge \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}[/TEX]
i, Cho x,y,z>0. và [TEX]{x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{5}{3}. CM:\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{z} < \frac{1}{{xyz}}[/TEX]
l, Cho [TEX]- 1 \le x,y,z \le 2 và x+y+z=0[/TEX]Cm:[TEX] {x^2} + {y^2} + {z^2} \le 6[/TEX]
Bài này hay >>>>>>>>>>>
Last edited by a moderator:
D
dragon_promise
BĐT hình học: (bài này tớ đi học về post cho các bạn làm)Cho Hình vuông [TEX]ABCD[/TEX] có canh bằng [TEX]a, M , N[/TEX] là hai điểm thay đổi trên cạnh [TEX]CB[/TEX] và [TEX]CD[/TEX] sao cho gíc [TEX]MAN[/TEX]=45∘ . Xác định vị trí của [TEX]M, N[/TEX] để diện tích [TEX]AMN[/TEX] đạt giá tri nhỏ nhất và lớn nhất.
>->->->->-
>->->->->-
D
dragon_promise
Chứng minh BĐT : Với [TEX]n,t,z>2, n,t,z[/TEX] là các số nguyên ta luôn có BĐT [TEX] 2^{n}+2^{t}+2^{z}> 2n+2z+2t[/TEX]
2.Cho a,b,c là các số thực dương.
CHứng minh[TEX]\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{ a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
Chứng minh [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1[/TEX]
P/s: Các cao thủ đi đâu cả rồi sao ko chém nữa
>->->-
2.Cho a,b,c là các số thực dương.
CHứng minh[TEX]\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{ a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
Chứng minh [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1[/TEX]
P/s: Các cao thủ đi đâu cả rồi sao ko chém nữa
>->->-
D
dragon_promise
Cho bạn 1 câu dễ nè:
Cho[TEX] a, b, c[/TEX] là 3 cạnh của 1 tam giác. [TEX]a+b+c=6[/TEX]
Chứng minh rằng:
[TEX]3(a^2+b^2+c^2)+2abc \geq 52[/TEX]
Cho[TEX] a, b, c[/TEX] là 3 cạnh của 1 tam giác. [TEX]a+b+c=6[/TEX]
Chứng minh rằng:
[TEX]3(a^2+b^2+c^2)+2abc \geq 52[/TEX]
T
tuan_chelsea_98
Đề bài yêu cầu gì vậy bạn?
....................................................................................................
Bài 2: x^2 - 2x = 24
Ta sử dụng thêm bớt:
x^2 - 2x +1 -1 = 24
\Leftrightarrow( x^2 - 1)^2 - 25 = 0
\Leftrightarrow(x-1-5)(x-1+5)
\Leftrightarrowx = 6 hay x = -4
(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)**********************8
C
cobala_15298
Bạn thử lam bài này nha nó có liên quan đến hằng đẳng thức đó:
1 CM (a+b+c)^3- a^3-b^3-c^3= 3(a+b)(b+c)(c+a)
1 CM (a+b+c)^3- a^3-b^3-c^3= 3(a+b)(b+c)(c+a)
V
vansang02121998
$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3$
$=[(a+b+c)^3-a^3]-(b^3+c^3)$
$=(a+b+c-a)[(a+b+c)^2+a(a+b+c)+a^2]-(b+c)(b^2-bc+c^2)-(b+c)(b^2-bc+c^2)$
$=(b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc+a^2+ab+ac+a^2)-(b+c)(b^2-bc+c^2)$
$=(b+c)(3a^2+3ab+3ac+3bc)$
$=3(b+c)(a^2+ab+ac+bc)$
$=3(b+c)[a(a+b)+c(a+b)]$
$=3(b+c)(a+b)(a+c)$
$(a+b+c)^3$
$=[(a+b)+c]^3$
$=(a+b)^3+3(a+b)^2c+3(a+b)c^2+c^3$
$=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+3(a^2+2ab+b^2)c+3ac^2+3bc^2+c^3$
$=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+3a^2c+6abc+3b^2c+3ac^2+2bc^2+c^3$
$=a^3+b^3+c^3+3(a^2b+ab^2+a^2c+b^2c+ac^2+bc^2+2abc)$
$=a^3+b^3+c^3+3[(a^2b+ab^2)+(a^2c+2abc+b^2c)+(ac^2+bc^2)]$
$=a^3+b^3+c^3+3[ab(a+b)+(ac+bc)(a+b)+c^2(a+b)]$
$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(ab+ac+bc+c^2)$
$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)[a(b+c)+c(b+c)]$
$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$
$=[(a+b+c)^3-a^3]-(b^3+c^3)$
$=(a+b+c-a)[(a+b+c)^2+a(a+b+c)+a^2]-(b+c)(b^2-bc+c^2)-(b+c)(b^2-bc+c^2)$
$=(b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc+a^2+ab+ac+a^2)-(b+c)(b^2-bc+c^2)$
$=(b+c)(3a^2+3ab+3ac+3bc)$
$=3(b+c)(a^2+ab+ac+bc)$
$=3(b+c)[a(a+b)+c(a+b)]$
$=3(b+c)(a+b)(a+c)$
$(a+b+c)^3$
$=[(a+b)+c]^3$
$=(a+b)^3+3(a+b)^2c+3(a+b)c^2+c^3$
$=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+3(a^2+2ab+b^2)c+3ac^2+3bc^2+c^3$
$=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+3a^2c+6abc+3b^2c+3ac^2+2bc^2+c^3$
$=a^3+b^3+c^3+3(a^2b+ab^2+a^2c+b^2c+ac^2+bc^2+2abc)$
$=a^3+b^3+c^3+3[(a^2b+ab^2)+(a^2c+2abc+b^2c)+(ac^2+bc^2)]$
$=a^3+b^3+c^3+3[ab(a+b)+(ac+bc)(a+b)+c^2(a+b)]$
$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(ab+ac+bc+c^2)$
$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)[a(b+c)+c(b+c)]$
$=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$
T
temihuong
Đề kiểu gì vậy pn? Nói rõ hơn được không?Chưng minh rằng A>1 khi a,b,c là 3 cạnh của một tam giác.
Mà pn không post đáp án lên ah? Có nhiều bài mình không giải được.
D
dragon_promise
af
Đây là đề:
Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao ( AB < AC )
a) C/m Tam giác AHB đồng dạng Tam giác ABC
b) C/m AH bình=HB.HC
c) Cho biết Ab = 12cm;AC = 16cm.Tính AH
d) Gọi AD là phân giác của góc BAC.Đường thẳng qua B vuông góc với AD cắt AH tại I và AC tại K.Tính tỉ số IB trên IK
Lời giải :
a/Xét Tam Giác AHB và Tam giác ABC ta có
Góc B chung
Góc BHA = Góc A
=> tam giac AHB đồng dạng với Tam giác ABC
b/Ta có
Góc B+Góc C = 180 độ(Tam giác ABC vuông tại A)
=> Góc B+Góc BAH = 180 độ(Tam giác AHB vuông tại H)(1)
=>Góc c+Góc HAC = 180 độ(Tam giác AHC vuông tại H)(2)
Từ (1)(2)=>Góc B=Góc HAC;Góc HAB=Góc HCA=>Tam giác HAC đồng dậng với Tam giác HBA
=>AH/BH=HC/AH
=>AH bình=BH.HC
c/Áp dụng định lý Py-ta-go vào Tam gaic1 ABC ta có
BC mủ 2 = AB mủ 2+ AC mủ 2
<=>BC mủ 2 = 144+256
<=>BC mủ 2 = 400
=> BC = 20
Đây là đề:
Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao ( AB < AC )
a) C/m Tam giác AHB đồng dạng Tam giác ABC
b) C/m AH bình=HB.HC
c) Cho biết Ab = 12cm;AC = 16cm.Tính AH
d) Gọi AD là phân giác của góc BAC.Đường thẳng qua B vuông góc với AD cắt AH tại I và AC tại K.Tính tỉ số IB trên IK
Lời giải :
a/Xét Tam Giác AHB và Tam giác ABC ta có
Góc B chung
Góc BHA = Góc A
=> tam giac AHB đồng dạng với Tam giác ABC
b/Ta có
Góc B+Góc C = 180 độ(Tam giác ABC vuông tại A)
=> Góc B+Góc BAH = 180 độ(Tam giác AHB vuông tại H)(1)
=>Góc c+Góc HAC = 180 độ(Tam giác AHC vuông tại H)(2)
Từ (1)(2)=>Góc B=Góc HAC;Góc HAB=Góc HCA=>Tam giác HAC đồng dậng với Tam giác HBA
=>AH/BH=HC/AH
=>AH bình=BH.HC
c/Áp dụng định lý Py-ta-go vào Tam gaic1 ABC ta có
BC mủ 2 = AB mủ 2+ AC mủ 2
<=>BC mủ 2 = 144+256
<=>BC mủ 2 = 400
=> BC = 20
D
dragon_promise
Đề
Cho hình vuông ABCD. trên cạnh AB lấy M. trên tia đối tia CB lấy N sao cho AM=CN. Gọi E là trung điểm của MN. tia DE cắt BC tại F. Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt DF tại H. CM:
a)MFNH là hình thoi
b)ND^2=NF.NB
Giải
a,
a) xét tam giác MBN , vuông ở B, E là trung điểm MN, suy ra ME= EB=EN
>> tam giác meb cân ở E
từ e vẽ EL vuông góc với AB , L thuộc AB >>>ML=LB
xét hình thang MHFB , có mh // LE//BF , L là trung điểm mb >> E là trung điểm HF
mà e là trung điểm MN >>> MFNH là hình bình hành (1)
dễ thấy tam giác ADM = tam giác CDN , suy ra góc adm = góc CDN , mà
góc adm + góc mdc= 90 độ , do đó góc cdn + góc mdc = 90 độ , hay là góc mdn vuông tại D ,
xét tam giác vuông cân MDN( chú ý MD= DN) có E là trung điểm MN, suy ra de vuông góc MN (2)
b,
Từ câu a suy ra : góc FDN = 45 độ , mà góc DBN = 45 độ
suy ra tam giác NDF đồng dạng với tam giác NBD , >>> ND/NF= NB/ND , suy ra đpcm
>->->->->->-
Cho hình vuông ABCD. trên cạnh AB lấy M. trên tia đối tia CB lấy N sao cho AM=CN. Gọi E là trung điểm của MN. tia DE cắt BC tại F. Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt DF tại H. CM:
a)MFNH là hình thoi
b)ND^2=NF.NB
Giải
a,
a) xét tam giác MBN , vuông ở B, E là trung điểm MN, suy ra ME= EB=EN
>> tam giác meb cân ở E
từ e vẽ EL vuông góc với AB , L thuộc AB >>>ML=LB
xét hình thang MHFB , có mh // LE//BF , L là trung điểm mb >> E là trung điểm HF
mà e là trung điểm MN >>> MFNH là hình bình hành (1)
dễ thấy tam giác ADM = tam giác CDN , suy ra góc adm = góc CDN , mà
góc adm + góc mdc= 90 độ , do đó góc cdn + góc mdc = 90 độ , hay là góc mdn vuông tại D ,
xét tam giác vuông cân MDN( chú ý MD= DN) có E là trung điểm MN, suy ra de vuông góc MN (2)
b,
Từ câu a suy ra : góc FDN = 45 độ , mà góc DBN = 45 độ
suy ra tam giác NDF đồng dạng với tam giác NBD , >>> ND/NF= NB/ND , suy ra đpcm
>->->->->->-
D
dragon_promise
Bài 1:Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH,AC=6cm,AB=8cm
1)c/m tam giác ABC đồng dạng tg HBA =>AB2=BH.BC(đã giải đc câu này)
2)Trên tia đối của tia AC lấy điểm D,vẽ AK vuông góc với DB tại K.c/m tg BHK đồng dạng tg BDC.
3)Cho AD=15cm.Tính s tg BHK
Bài 2:Cho tg ABC vuông tại A,đường cao AH,AB=15cm,AC=20cm,gọi D là trung điểm của AB,qua D kẻ DE vuông góc BC(E thuộc BC)
1)Tính BC và AH(đã làm đc)
2)C/m tg BHA và tg BAC đồng dạng và AB2=BH.BC(đã làm đc)
3)Tính DE?
4)C/m BE.BC=2BD²
1)c/m tam giác ABC đồng dạng tg HBA =>AB2=BH.BC(đã giải đc câu này)
2)Trên tia đối của tia AC lấy điểm D,vẽ AK vuông góc với DB tại K.c/m tg BHK đồng dạng tg BDC.
3)Cho AD=15cm.Tính s tg BHK
Bài 2:Cho tg ABC vuông tại A,đường cao AH,AB=15cm,AC=20cm,gọi D là trung điểm của AB,qua D kẻ DE vuông góc BC(E thuộc BC)
1)Tính BC và AH(đã làm đc)
2)C/m tg BHA và tg BAC đồng dạng và AB2=BH.BC(đã làm đc)
3)Tính DE?
4)C/m BE.BC=2BD²
D
dragon_promise
1)
Cho tg ABC cân tại A.Gọi M là trung điểm BC. Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc cạnh AB và AC sao cho góc CME=BDM.
Chứng minh:
a) BD.CE=MB.MB
B) Tg MDE đồng dạng tg BDM ( không làm được câu này)
c)DM là phân giác góc BDE. ( không làm được )
2) Cho tg ABC, 1 đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D,E và cắt đường thẳng kẻ từ C song song với AB tại F.
Gọi giao điểm của AC và BF là S.
a) Cm: AB.CE=AC.CF
b) Cm: SC.SC=SA.SE
Cho tg ABC cân tại A.Gọi M là trung điểm BC. Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc cạnh AB và AC sao cho góc CME=BDM.
Chứng minh:
a) BD.CE=MB.MB
B) Tg MDE đồng dạng tg BDM ( không làm được câu này)
c)DM là phân giác góc BDE. ( không làm được )
2) Cho tg ABC, 1 đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D,E và cắt đường thẳng kẻ từ C song song với AB tại F.
Gọi giao điểm của AC và BF là S.
a) Cm: AB.CE=AC.CF
b) Cm: SC.SC=SA.SE
D
dragon_promise
Cho tg ABC có AB=3a, AC=4a,BC=5a,trong đó a là độ dài cho trước. kẻ đường cao AH, từ H kẻ HE thẳng góc AB,HF thẳng góc AC.
a) cm: tg ABC vuông.
b) tứ giác A F H E là hình gì ?
c)cm: tg A F E đồng dạng với tg A C B.
d)Qua E và F kẻ các đường thẳng vuông góc với E F, cắt BC theo thứ tự tại M và N. Tính diện tích tứ giác E F N M .
:-*:-*:-*:-*:-*:-*
a) cm: tg ABC vuông.
b) tứ giác A F H E là hình gì ?
c)cm: tg A F E đồng dạng với tg A C B.
d)Qua E và F kẻ các đường thẳng vuông góc với E F, cắt BC theo thứ tự tại M và N. Tính diện tích tứ giác E F N M .
:-*:-*:-*:-*:-*:-*
D
dragon_promise
Cho tam giác ABC ,trên cạnh BC lấy P bất kì .M,N là hai điểm đối xứng của P qua AB,AC .Q là đỉnh còn lại của hình bình hành MNPQ .Chứng minh khi P di chuyển trên BC thì Q di chuyển trên 1 đường thẳng cố định ?
|||||
|||||
D
dragon_promise
Cho hình thang ABCD , hai cạnh bên AB và CD không song song.Tính diện tích của hình thang biết độ dài đường chéo AC và BD lần lượt là 9m và 12m,đoạn thẳng nối trung điểm hai đáy là 7,5m
>->->->->-
>->->->->-
D
dragon_promise
Bài giải:
- Gọi giao điểm ACxBD = {I}
- Gọi M là trung điểm AD <=> AM = MD (1)
- Gọi giao điểm MIxBC = {N}
Áp dụng đlí Talet liên tiếp cho 2 tam giác ICN và IBN, ta được
AM/NC = IM/IN = MD/BN => AM/NC = MD/BN ( tính chất bắc cầu )
Kết hợp với (1), suy ra BN = NC <=> N là trung điểm BC.
Nói khác đi là AC, BD, và đoạn nối 2 trung điểm 2 đáy đồng qui, tại I.
Gọi P là điểm sao cho N là trung điểm IP. Ta dễ dàng thấy ICPB là hình bình hành
=> IC // BP (1)
Gọi Q là điểm trên đường thẳng BC sao cho DQ // AC (2), dễ dàng suy ra ADQC là hình bình hành
=>DQ = AC(3)
Gọi R là điểm trên đường BP sao cho QR // BD (4)
Từ (1) và (2) => BR//DQ (5)
Từ (5) và (4) => BDQR là hình bình hành (6)
Gọi giao điểm BQxDR = {S}, kết hợp với (6), suy ra S là trung điểm của BQ và DR
Vì S là trung điểm BQ, M là trung điểm BC => BC/BQ = BM / BS (7)
Áp dụng định lí Talet cho tam giác BDQ, ta được: BC/BQ = BI / BD
Kết hợp với (7) => BM/BS = BI/BD => IM//BS ( định lí Talet đảo )
Hay MN // DS
Mà ND//MS => MNDS là hình bình hành => MN = DS
=> DR = 2MN (*)
Từ (6) => DQ = BR, kết hợp (3) => BR = AC (**)
Từ (*) và (**) ta thấy tam giác BDR có độ dài các cạnh lần lượt là độ dài AC, BD và 2MN, cụ thể:
BD = 12m; BR = 9m; DR = 2x7.5= 15m
Kí hiệu diện tích tam giác BDR là S(BDR)
Dễ thấy S(BDR) = 1/2 S( BDQR) = S(BDQ) = S(BDC) + S(DQC)
Mà S(ABD) = S(DQC) do 2 tam giác có cùng đường cao, và 2 cạnh đáy AD = QC
Suy ra S(BDR) = S(BDC) + S(ABD) = S(ABCD)
Vậy S(ABCD) chính là S(BDR)
Tại đây nếu có công thức tính diện tích tam giác theo đồ dài 3 cạnh, ta luôn tính được S(BDR) với mọi AC, BD, MN khả dĩ tồn tại.
Tuy nhiên, ta cũng nhận thấy độ dài 3 cạnh tam giác BDR theo tỉ lệ 3:4:5, là độ dài 3 cạnh của tam giác vuông ( BR là cạnh huyền ) => S(BDR) = 12x9 / 2= 54 (m2)
Vậy S(ABCD) = 54 m2
- Gọi giao điểm ACxBD = {I}
- Gọi M là trung điểm AD <=> AM = MD (1)
- Gọi giao điểm MIxBC = {N}
Áp dụng đlí Talet liên tiếp cho 2 tam giác ICN và IBN, ta được
AM/NC = IM/IN = MD/BN => AM/NC = MD/BN ( tính chất bắc cầu )
Kết hợp với (1), suy ra BN = NC <=> N là trung điểm BC.
Nói khác đi là AC, BD, và đoạn nối 2 trung điểm 2 đáy đồng qui, tại I.
Gọi P là điểm sao cho N là trung điểm IP. Ta dễ dàng thấy ICPB là hình bình hành
=> IC // BP (1)
Gọi Q là điểm trên đường thẳng BC sao cho DQ // AC (2), dễ dàng suy ra ADQC là hình bình hành
=>DQ = AC(3)
Gọi R là điểm trên đường BP sao cho QR // BD (4)
Từ (1) và (2) => BR//DQ (5)
Từ (5) và (4) => BDQR là hình bình hành (6)
Gọi giao điểm BQxDR = {S}, kết hợp với (6), suy ra S là trung điểm của BQ và DR
Vì S là trung điểm BQ, M là trung điểm BC => BC/BQ = BM / BS (7)
Áp dụng định lí Talet cho tam giác BDQ, ta được: BC/BQ = BI / BD
Kết hợp với (7) => BM/BS = BI/BD => IM//BS ( định lí Talet đảo )
Hay MN // DS
Mà ND//MS => MNDS là hình bình hành => MN = DS
=> DR = 2MN (*)
Từ (6) => DQ = BR, kết hợp (3) => BR = AC (**)
Từ (*) và (**) ta thấy tam giác BDR có độ dài các cạnh lần lượt là độ dài AC, BD và 2MN, cụ thể:
BD = 12m; BR = 9m; DR = 2x7.5= 15m
Kí hiệu diện tích tam giác BDR là S(BDR)
Dễ thấy S(BDR) = 1/2 S( BDQR) = S(BDQ) = S(BDC) + S(DQC)
Mà S(ABD) = S(DQC) do 2 tam giác có cùng đường cao, và 2 cạnh đáy AD = QC
Suy ra S(BDR) = S(BDC) + S(ABD) = S(ABCD)
Vậy S(ABCD) chính là S(BDR)
Tại đây nếu có công thức tính diện tích tam giác theo đồ dài 3 cạnh, ta luôn tính được S(BDR) với mọi AC, BD, MN khả dĩ tồn tại.
Tuy nhiên, ta cũng nhận thấy độ dài 3 cạnh tam giác BDR theo tỉ lệ 3:4:5, là độ dài 3 cạnh của tam giác vuông ( BR là cạnh huyền ) => S(BDR) = 12x9 / 2= 54 (m2)
Vậy S(ABCD) = 54 m2