$(\alpha)$ cắt $SB$ và $SD$ tại $N$ và $P$
Gọi $O$ là tâm $ABCD$, $NP$ cắt $SO$ tại $I$
Do tính đối xứng qua $(SAC)$ nên $V_{S.PAM} = V_{S.NAM}$
Ta có $$\dfrac{V_{S.PAM}}{V_{S.DAC}} = \dfrac{SP}{SD} \cdot \dfrac{SM}{SC} = \dfrac{SI}{SO} \cdot \dfrac{SM}{SC}$$
Tương tự thì $$\dfrac{V_{S.NAM}}{V_{S.BAC}} = \dfrac{SI}{SO} \cdot \dfrac{SM}{SC}$$
Cộng vế theo vế ta có $$\dfrac{V_{S.ANMP}}{\dfrac12 V_{S.ABCD}} = \dfrac{2SI}{SO} \cdot \dfrac{SM}{SC}$$
Do $(\alpha)$ chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau nên $$\dfrac{2SI}{SO} \cdot \dfrac{SM}{SC} = 1 \tag{*}$$
Theo định lý Menelaus cho cát tuyến $AIM$: $$\dfrac{AO}{AC} \cdot \dfrac{MC}{MS} \cdot \dfrac{IS}{IO} = 1$$
Đặt $\dfrac{MC}{MS} = x$ thì $$\dfrac{IS}{IO} = \dfrac{2}{x}$$
Tới đây, thay hết vào $(*)$ ta được $$\dfrac{4}{x + 2} \cdot \dfrac{1}{x+1} = 1$$
Giải ra được $x = \dfrac{-3 + \sqrt{17}}2$
Hạ $OH \perp AI$ thì $OH \perp (\alpha)$
Bạn tính $OH$, suy ra $d(S, (\alpha))$, rồi lấy $S_{ANMP} = \dfrac{3V_{S.ANMP}}{d(S, \alpha)}$ là ok. Mình lười tính quá
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
