Cho hàm số [imath]y=-x^{3}+3 x+2[/imath] có đồ thị là [imath](C)[/imath]. Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đển đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Đang làm bài kiểm tra. Đạo hữu xung quanh online cấp cứu chờ rất gấp a
rongcon4
Senhcavandam
Xét điểm [imath]M(m ; 0) \in O x[/imath].
Đường thẳng [imath]d[/imath] đi qua [imath]M[/imath], hệ số góc [imath]k[/imath] có phương trình : [imath]y=k(x-m)[/imath] [imath]d[/imath] là tiếp tuyến
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-x^3+3x+2=k(x-m)\\-3x^2+3=k\end{matrix}\right.[/imath] có nghiệm
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :
[imath]3(x^2-1)(x-m)-(x^3-3x-2)=0[/imath] (1)
[imath]\Leftrightarrow (x+1)(3x^2-3(1+m)x+3m)-(x+1)(x^2-x-2)=0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=-1\\2x^2-(3m+2)x+3m+2=0\end{matrix}\right.[/imath]
Từ [imath]M[/imath] kẻ được 3 tiếp tuyến thì (a) phải có 2 nghiệm phân biệt [imath]\ne 1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta= (3m+2)^2-4(3m+2)>0\\3m+3\ne 0\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}m<\dfrac{-2}3\\ m>2\end{matrix}\right. \\m\ne -1\end{matrix}\right.[/imath]
Gọi [imath]x_{1} ; x_{2}[/imath] là 2 nghiệm của (1), khi đó hệ số góc của 3 tiếp tuyến là :
[imath]k_{1}=-3 x_{1}^{2}+3 ; k_{2}=-3 x_{2}^{2}+3 ; k_{3}=0[/imath]
Để 2 trong 3 tiếp tuyến này vuông góc với nhau [imath]\Leftrightarrow k_{1} . k_{2}=-1[/imath] [imath]\Leftrightarrow 9\left(x_{1}^{2}-1\right)\left(x_{2}^{2}-1\right)=1 \Leftrightarrow 9 x_{1}^{2} x_{2}^{2}-9\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+18 x_{1} x_{2}+8=0(2)[/imath]
Mặt khác, theo định lý Viet, [imath]x_{1}+x_{2}=\dfrac{3 m+2}{2} ; x_{1} x_{2}=\dfrac{3 m+2}{2}[/imath];
Từ đó (2) [imath]\Leftrightarrow 9(3 m+2)+8=0 \Leftrightarrow m=-\dfrac{26}{27}[/imath] thỏa mãn điều kiện. Vậy [imath]M\left(-\dfrac{26}{27} ; 0\right)[/imath] là điểm cần tìm
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em xem thêm tại
Tổng hợp kiến thức toán 11
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
