Nhận thấy [imath]GA^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9}[/imath] và tương tự với [imath]GB^2,GC^2[/imath].
Từ đó [imath]P=\dfrac{GA^2}{bc}+\dfrac{GB^2}{ca}+\dfrac{GC^2}{ab}=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9bc}+\dfrac{2c^2+2a^2-b^2}{9ac}+\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{9ab}[/imath]
[imath]=\dfrac{a(2b^2+2c^2-a^2)+b(2c^2+2a^2-b^2)+c(2a^2+2b^2-c^2)}{9abc}[/imath]
[imath]=\dfrac{-(a^3+b^3+c^3)+2(a^2b+ab^2+ac^2+a^2c+b^2c+bc^2)}{9abc}[/imath]
Ta có: [imath](a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=-(a^3+b^3+c^3)+(a^2b+ab^2+ac^2+a^2c+bc^2+b^2c)-2abc[/imath]
[imath]\Rightarrow P=\dfrac{2(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)+4abc+(a^3+b^3+c^3)}{9abc}=\dfrac{2(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)+(a^3+b^3+c^3)}{9abc}+\dfrac{4}{9}[/imath]
Ta cần tìm [imath]\min Q=\dfrac{2(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)+(a^3+b^3+c^3)}{abc}[/imath]
Đặt [imath]x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c[/imath] thì [imath]x,y,z>0[/imath] và [imath]\begin{cases} a=\dfrac{y+z}{2} \\ b=\dfrac{z+x}{2} \\ c=\dfrac{x+y}{2} \end{cases}[/imath]
[imath]\Rightarrow Q=\dfrac{2xyz+(\dfrac{x+y}{2})^3+(\dfrac{y+z}{2})^3+(\dfrac{z+x}{2})^3}{\dfrac{x+y}{2} \dfrac{y+z}{2} \dfrac{z+x}{2}}[/imath]
[imath]=\dfrac{16xyz+(x+y)^3+(y+z)^3+(z+x)^3}{(x+y)(y+z)(z+x)}[/imath]
[imath]=\dfrac{2(x^3+y^3+z^3)+3(x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+yz^2+y^2z)+16xyz}{(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz}[/imath]
Đặt [imath]p=x+y+z,q=xy+yz+zx,r=xyz[/imath] thì [imath]\begin{cases} x^3+y^3+z^3=p^3-3pq+3r \\ x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+yz^2+y^2z=pq-3r \end{cases}[/imath]
[imath]\Rightarrow Q=\dfrac{2(p^3-3pq+3r)+3(pq-3r)+16r}{pq-r}=\dfrac{2p^3-3pq+13r}{pq-r}=\dfrac{2p^3+10r}{pq-r}-3[/imath]
Ta cần chứng minh [imath]\dfrac{2p^3+10r}{pq-r} \geq 8[/imath]
[imath]\Leftrightarrow p^3+5r \geq 4pq-4r[/imath]
[imath]\Leftrightarrow p^3-4pq+9r \geq 0[/imath] (đúng theo BĐT Schur bậc [imath]3[/imath])
Từ đó [imath]Q \geq 5 \Rightarrow P=\dfrac{Q}{9}+\dfrac{4}{9} \geq 1[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]x=y=z \Leftrightarrow a=b=c[/imath].
Vậy [imath]\min P=1[/imath].
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Chuyên đề HSG] Bất đẳng thức Schur và kỹ thuật đổi biến $p,q,r$ cho bất đẳng thức đối xứng $3$ biến
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
