Cho em hỏi là tìm min, max theo cách này được không

[recovery]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y>0, xy=1
Tìm GTNN
[TEX]\frac{x^3}{1+y}[/TEX] + [TEX]\frac{y^3}{1+x}[/TEX]
BL:
+)[TEX]\frac{x^3}{1+y}[/TEX] + [TEX]\frac{y^3}{1+x}[/TEX] \geq [TEX]\frac{2}{sqrt{(1+y).(1+x)}}[/TEX]
+)Đặt P=[TEX]\frac{x^3}{1+y}[/TEX] + [TEX]\frac{y^3}{1+x}[/TEX]
và S=[TEX]\frac{1}{sqrt{(1+y).(1+x)}}[/TEX]
\RightarrowP\geq2S
+)Có: (1+y)(1+x)= 2+x+y
\RightarrowS=[TEX]\frac{1}{sqrt{2+x+y}}[/TEX]
+Có x+y \geq2[TEX]sqrt{xy}[/TEX] \Rightarrow2+x+y\geq4 (vì xy =1) \Rightarrow[TEX]sqrt{2+x+y}[/TEX]\geq2 \RightarrowS\leq1/2
Max P \Leftrightarrow P=2S , dấu "=" xảy ra khi x=y
Mà: khi x=y S đạt giá trị cực đại S= 1/2
\RightarrowP đạt giá trị nhỏ nhất khi S đạt giá trị lớn nhất là S= 1/2 \LeftrightarrowP =1 khi x=y=1
P/S: tìm min, max theo cách này được không. Em đưa bài toán tìm minP sang bài toán tim maxS và minP=2maxS ("=" \Leftrightarrow x=y=1)

 

[asroma11235]

Bạn bì nhầm dấu ở chỗ biến đổi mẫu số.
Muốn P nhỏ nhất thì mẫu phải lớn nhất chứ? Tức là ta đi tìm Max của mẫu!
Tuy nhiên hướng đi mà bạn chọn chưa đúng!
Chúng ta có cách giải sau:
Đặt biểu thức là P
Chia cả tử và mẫu lần lượt chõ và y, ta được
[TEX]P=\frac{x^2}{1+\frac{y}{x}}+ \frac{y^2}{1+\frac{x}{y}} \geq \frac{(x+y)^2}{2+ \frac{x^2+y^2}{xy}}= \frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+2xy} =1[/TEX]
Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow x=y=1[/TEX]
Đúng do ta áp dụng:
[TEX]\frac{x^2}{a}+ \frac{y^2}{b} \geq \frac{(x+y)^2}{a+b}[/TEX]
CM: Áp dụng Bunhia copxki:
[TEX](a+b)(\frac{x^2}{a}+ \frac{y^2}{b}) \geq (x+y)^2[/TEX]
Chuyển vế => đpcm