Toán 9 Cho đoạn thẳng BC cố định có độ dài bằng $a>0$ và điểm A thay đổi, $\widehat{BAC}=60^o$

[_Error404_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đoạn thẳng BC cố định có độ dài bằng a (a > 0). Một điểm A thay đổi sao cho [tex]\widehat{BAC}=60^{o}[/tex]. Phân giác của [tex]\widehat{BAC}[/tex] cắt BC tại D. Xác định vị trí của điểm A để [tex]\frac{2}{AB^2}+\frac{2}{BC^2}+\frac{2}{CA^2}-\frac{3}{AD^2}[/tex] đạt giá trị nhỏ nhất

 

[7 1 2 5]

Áp dụng định lí cosin ta có: [TEX]AB^2+AC^2-BC^2=2AB.AC.cosBAC=AB.AC \Rightarrow AB^2+AC^2-AB.AC=a^2[/TEX]
Để cho tiện thì ta đặt [TEX]AB=c,AC=b[/TEX]. Vẽ đường tròn ngoại tiếp [TEX]\Delta ABC[/TEX] cắt [TEX]AD[/TEX] tại điểm thứ 2 là E.
Khi đó ta có: [TEX]\Delta ADB \sim \Delta ACE \Rightarrow AB.AC=AD.AE[/TEX]
[TEX]\Delta ADB \sim \Delta CDE \Rightarrow AD.DE=BD.CD \Rightarrow AD^2=AD.AE-AD.DE=bc-BC.\frac{AB}{AB+AC}.BC.\frac{AC}{AB+AC}=bc-a^2.\frac{bc}{(b+c)^2}=bc.\frac{(b+c)^2-a^2}{(b+c)^2}=bc.\frac{3bc}{(b+c)^2}=\frac{3(bc)^2}{(b+c)^2}[/TEX]
Vì BC cố định nên ta cần tìm [tex]\min (\frac{2}{b^2}+\frac{2}{c^2}-\frac{(b+c)^2}{b^2c^2})=\min (\frac{2b^2+2c^2-(b+c)^2}{b^2c^2})=\min \frac{(b-c)^2}{b^2c^2}=0[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]b=c[/TEX] hay [TEX]\Delta ABC[/TEX] cân tại A.

Nếu bạn cần giải đáp gì bạn có thể hỏi tại topic này nhé, tụi mình luôn sẵn sàng hỗ trợ.
Bạn có thể tham khảo topic ôn thi Chuyên tại đây.