Toán 11 Cho dãy số $(u_n)$

[Thảo_UwU]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy số [imath](u_n)[/imath] xác định bởi [imath]\begin{cases} u_1 = 2023 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n^4 + 2022^2}{u_n^3 - u_n + 4044} \end{cases}[/imath][imath]\forall n \in \mathbb{N}^{*}[/imath]
a)CMR: [imath]u_n > 2022, \forall n \in N^*[/imath]
b)Đặt [imath]S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{u_k^3 + 2022},\forall n \in \mathbb{N}^*[/imath]
Tính [imath]lim S_n[/imath]

 

[7 1 2 5]

Em viết lại đề câu b) giúp anh nhé.
a) Đặt [imath]t=2022[/imath] thì ta có [imath]u_{n+1}=\dfrac{u_n^4+t^2}{u_n^3-u_n+2t}[/imath]
[imath]\Rightarrow u_{n+1}-t=\dfrac{u_n^4+t^2}{u_n^3-u_n+2t}-t=\dfrac{(u_n-t)(u_n^3+t)}{u_n^3-u_n+2t}[/imath]
Đến đây ta có thể quy nạp được [imath]u_n>t \forall n \geq 1[/imath].

 

[Thảo_UwU]

Em viết lại đề câu b) giúp anh nhé.
a) Đặt [imath]t=2022[/imath] thì ta có [imath]u_{n+1}=\dfrac{u_n^4+t^2}{u_n^3-u_n+2t}[/imath]
[imath]\Rightarrow u_{n+1}-t=\dfrac{u_n^4+t^2}{u_n^3-u_n+2t}-t=\dfrac{(u_n-t)(u_n^3+t)}{u_n^3-u_n+2t}[/imath]
Đến đây ta có thể quy nạp được [imath]u_n>t \forall n \geq 1[/imath].

7 1 2 5Nếu câu b như kia thì mk có hướng làm như nào vậy a?

 

[7 1 2 5]

Nếu câu b như kia thì mk có hướng làm như nào vậy a?

Thảo_UwUHmm, có một mẹo mà có thể dùng trong mấy bài kiểu này là điểm bất động.
Ta thấy nếu [imath]u_n=t[/imath] (mặc dù không xảy ra) thì [imath]u_{n+1}=t[/imath] nên [imath]t[/imath] là điểm bất động.
Khi đó [imath]u_{n+1}-t=\dfrac{u_n^4+t^2}{u_n^3-u_n+2t}-t=\dfrac{(u_n-t)(u_n^3+t)}{u_n^3-u_n+2t}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{1}{u_{n+1}-t}=\dfrac{u_n^3-u_n+2t}{(u_n^3+t)(u_n-t)}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{1}{u_{n+1}-t}-\dfrac{1}{u_n-t}=\dfrac{(u_n^3-u_n+2t)-(u_n^3+t)}{(u_n^3+t)(u_n-t)}=\dfrac{-1}{u_n^3+t}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{1}{u_n^3+t}=\dfrac{1}{u_n-t}-\dfrac{1}{u_{n+1}-t}[/imath]
Từ đó ta có thể rút gọn [imath]S_n=\dfrac{1}{u_1-t}-\dfrac{1}{u_{n+1}-t}[/imath]

 

[Thảo_UwU]

Hmm, có một mẹo mà có thể dùng trong mấy bài kiểu này là điểm bất động.
Ta thấy nếu [imath]u_n=t[/imath] (mặc dù không xảy ra) thì [imath]u_{n+1}=t[/imath] nên [imath]t[/imath] là điểm bất động.
Khi đó [imath]u_{n+1}-t=\dfrac{u_n^4+t^2}{u_n^3-u_n+2t}-t=\dfrac{(u_n-t)(u_n^3+t)}{u_n^3-u_n+2t}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{1}{u_{n+1}-t}=\dfrac{u_n^3-u_n+2t}{(u_n^3+t)(u_n-t)}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{1}{u_{n+1}-t}-\dfrac{1}{u_n-t}=\dfrac{(u_n^3-u_n+2t)-(u_n^3+t)}{(u_n^3+t)(u_n-t)}=\dfrac{-1}{u_n^3+t}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{1}{u_n^3+t}=\dfrac{1}{u_n-t}-\dfrac{1}{u_{n+1}-t}[/imath]
Từ đó ta có thể rút gọn [imath]S_n=\dfrac{1}{u_1-t}-\dfrac{1}{u_{n+1}-t}[/imath]

7 1 2 5Ở dấu suy ra số [imath]2[/imath] mục đích của việc trừ đi [imath]\dfrac{1}{u_n - t}[/imath] là để ra được biểu thức giống như ở đề câu b đúng ko ạ?

 

[7 1 2 5]

Ở dấu suy ra số [imath]2[/imath] mục đích của việc trừ đi [imath]\dfrac{1}{u_n - t}[/imath] là để ra được biểu thức giống như ở đề câu b đúng ko ạ?

Thảo_UwUĐúng rồi em nhé. Thường thì mục tiêu của đề bài cũng là hướng học sinh về cách biến đổi đó luôn nhé.

 

[Alice_www]

Cho dãy số [imath](u_n)[/imath] xác định bởi [imath]\begin{cases} u_1 = 2023 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n^4 + 2022^2}{u_n^3 - u_n + 4044} \end{cases}[/imath][imath]\forall n \in \mathbb{N}^{*}[/imath]
a)CMR: [imath]u_n > 2022, \forall n \in N^*[/imath]
b)Đặt [imath]S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n},\forall n \in \mathbb{N}^*[/imath]
Tính [imath]lim S_n[/imath]

Thảo_UwU
a) Ta có: [imath]u_1=2023>2022[/imath]

Giả sử với [imath]n=k[/imath] ta có: [imath]u_k>2022[/imath]
Ta chứng minh với [imath]n=k+1[/imath] ta có: [imath]u_{k+1}>2022[/imath]

[imath]u_{k+1}-2022=\dfrac{u_k^4+2022^2}{u_k^3-u_k+4044}-2022[/imath]

[imath]=\dfrac{u_k^4-2022u_k^3+2022u_k-2022^2}{u_k^3-u_k+4044}=\dfrac{(u_k^3+2022)(u_k-2022)}{u_k^3-u_k+4044}>0\Rightarrow u_{k+1}>2022[/imath]

Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có [imath]u_n>2022\forall n\in \mathbb{N}^*[/imath]

b) em thiếu đề nhé

Có gì khúc mắc em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

 

[Thảo_UwU]

@7 1 2 5 @Alice_www Srry 2 a chị e viết thiếu :<
E sửa lại rồi đó ạ.Xin lỗi vì sự bất tiện này

 

[chi254]

Cho dãy số [imath](u_n)[/imath] xác định bởi [imath]\begin{cases} u_1 = 2023 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n^4 + 2022^2}{u_n^3 - u_n + 4044} \end{cases}[/imath][imath]\forall n \in \mathbb{N}^{*}[/imath]
a)CMR: [imath]u_n > 2022, \forall n \in N^*[/imath]
b)Đặt [imath]S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{u_k^3 + 2022},\forall n \in \mathbb{N}^*[/imath]
Tính [imath]lim S_n[/imath]

Thảo_UwU
b) [imath]u_{n+1} - 2022 = \dfrac{u_n^4 + 2022^2 - 2022u_n^3 + 2022u_n - 2.2022^2}{u_n^3 - u_n + 4044}[/imath]

[imath]\iff u_{n+1} - 2022 = \dfrac{u_n^4 + 2022^2 - 2022u_n^3 + 2022u_n - 2022^2 }{u_n^3 - u_n + 4044}[/imath]

[imath]\iff u_{n+1} - 2022 = \dfrac{ (u_n^3 + 2022)(u_n -2022)}{u_n^3 - u_n + 4044}[/imath]

[imath]\iff \dfrac{1}{u_{n+1} - 2022} = \dfrac{ u_n^3 +2022 - (u_n -2022) }{(u_n^3 + 2022)(u_n -2022)}[/imath]

[imath]\iff \dfrac{1}{u_{n+1} - 2022} = \dfrac{1}{u_{n} - 2022} - \dfrac{1}{u_n^3 + 2022}[/imath]

[imath]\iff \dfrac{1}{u_n^3 + 2022} = \dfrac{1}{u_{n} - 2022} - \dfrac{1}{u_{n +1} - 2022}[/imath]

Suy ra: [imath]S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{u_k^3 + 2022} = \dfrac{1}{u_1 - 2022} - \dfrac{1}{u_2 - 2022} + \dfrac{1}{u_3 - 2022} - .... + \dfrac{1}{u_{n} - 2022} - \dfrac{1}{u_{n +1} - 2022} = \dfrac{1}{u_1 - 2022} - \dfrac{1}{u_{n +1} - 2022} [/imath]

Có gì không hiểu thì em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân