Toán 11 Cho dãy số $(u_n)$

Thảo_UwU

Học sinh chăm học
Thành viên
16 Tháng mười 2021
398
334
76
18
Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy số [imath](u_n)[/imath] xác định bởi [imath]\begin{cases} u_1 = 2023 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n^4 + 2022^2}{u_n^3 - u_n + 4044} \end{cases}[/imath][imath]\forall n \in \mathbb{N}^{*}[/imath]
a)CMR: [imath]u_n > 2022, \forall n \in N^*[/imath]
b)Đặt [imath]S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{u_k^3 + 2022},\forall n \in \mathbb{N}^*[/imath]
Tính [imath]lim S_n[/imath]
 
Last edited:

7 1 2 5

Cựu TMod Toán
Thành viên
19 Tháng một 2019
6,871
11,478
1,141
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
Em viết lại đề câu b) giúp anh nhé.
a) Đặt [imath]t=2022[/imath] thì ta có [imath]u_{n+1}=\dfrac{u_n^4+t^2}{u_n^3-u_n+2t}[/imath]
[imath]\Rightarrow u_{n+1}-t=\dfrac{u_n^4+t^2}{u_n^3-u_n+2t}-t=\dfrac{(u_n-t)(u_n^3+t)}{u_n^3-u_n+2t}[/imath]
Đến đây ta có thể quy nạp được [imath]u_n>t \forall n \geq 1[/imath].
 
  • Love
Reactions: Thảo_UwU

Thảo_UwU

Học sinh chăm học
Thành viên
16 Tháng mười 2021
398
334
76
18
Hà Nội
Em viết lại đề câu b) giúp anh nhé.
a) Đặt [imath]t=2022[/imath] thì ta có [imath]u_{n+1}=\dfrac{u_n^4+t^2}{u_n^3-u_n+2t}[/imath]
[imath]\Rightarrow u_{n+1}-t=\dfrac{u_n^4+t^2}{u_n^3-u_n+2t}-t=\dfrac{(u_n-t)(u_n^3+t)}{u_n^3-u_n+2t}[/imath]
Đến đây ta có thể quy nạp được [imath]u_n>t \forall n \geq 1[/imath].
7 1 2 5Nếu câu b như kia thì mk có hướng làm như nào vậy a?
 
View previous replies…

7 1 2 5

Cựu TMod Toán
Thành viên
19 Tháng một 2019
6,871
11,478
1,141
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
Nếu câu b như kia thì mk có hướng làm như nào vậy a?
Thảo_UwUHmm, có một mẹo mà có thể dùng trong mấy bài kiểu này là điểm bất động.
Ta thấy nếu [imath]u_n=t[/imath] (mặc dù không xảy ra) thì [imath]u_{n+1}=t[/imath] nên [imath]t[/imath] là điểm bất động.
Khi đó [imath]u_{n+1}-t=\dfrac{u_n^4+t^2}{u_n^3-u_n+2t}-t=\dfrac{(u_n-t)(u_n^3+t)}{u_n^3-u_n+2t}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{1}{u_{n+1}-t}=\dfrac{u_n^3-u_n+2t}{(u_n^3+t)(u_n-t)}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{1}{u_{n+1}-t}-\dfrac{1}{u_n-t}=\dfrac{(u_n^3-u_n+2t)-(u_n^3+t)}{(u_n^3+t)(u_n-t)}=\dfrac{-1}{u_n^3+t}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{1}{u_n^3+t}=\dfrac{1}{u_n-t}-\dfrac{1}{u_{n+1}-t}[/imath]
Từ đó ta có thể rút gọn [imath]S_n=\dfrac{1}{u_1-t}-\dfrac{1}{u_{n+1}-t}[/imath]
 
  • Wow
Reactions: Thảo_UwU

Thảo_UwU

Học sinh chăm học
Thành viên
16 Tháng mười 2021
398
334
76
18
Hà Nội
Hmm, có một mẹo mà có thể dùng trong mấy bài kiểu này là điểm bất động.
Ta thấy nếu [imath]u_n=t[/imath] (mặc dù không xảy ra) thì [imath]u_{n+1}=t[/imath] nên [imath]t[/imath] là điểm bất động.
Khi đó [imath]u_{n+1}-t=\dfrac{u_n^4+t^2}{u_n^3-u_n+2t}-t=\dfrac{(u_n-t)(u_n^3+t)}{u_n^3-u_n+2t}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{1}{u_{n+1}-t}=\dfrac{u_n^3-u_n+2t}{(u_n^3+t)(u_n-t)}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{1}{u_{n+1}-t}-\dfrac{1}{u_n-t}=\dfrac{(u_n^3-u_n+2t)-(u_n^3+t)}{(u_n^3+t)(u_n-t)}=\dfrac{-1}{u_n^3+t}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{1}{u_n^3+t}=\dfrac{1}{u_n-t}-\dfrac{1}{u_{n+1}-t}[/imath]
Từ đó ta có thể rút gọn [imath]S_n=\dfrac{1}{u_1-t}-\dfrac{1}{u_{n+1}-t}[/imath]
7 1 2 5Ở dấu suy ra số [imath]2[/imath] mục đích của việc trừ đi [imath]\dfrac{1}{u_n - t}[/imath] là để ra được biểu thức giống như ở đề câu b đúng ko ạ?
 
  • Like
Reactions: 7 1 2 5

7 1 2 5

Cựu TMod Toán
Thành viên
19 Tháng một 2019
6,871
11,478
1,141
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
Ở dấu suy ra số [imath]2[/imath] mục đích của việc trừ đi [imath]\dfrac{1}{u_n - t}[/imath] là để ra được biểu thức giống như ở đề câu b đúng ko ạ?
Thảo_UwUĐúng rồi em nhé. Thường thì mục tiêu của đề bài cũng là hướng học sinh về cách biến đổi đó luôn nhé.
 
  • Love
Reactions: Thảo_UwU

Alice_www

Cựu Mod Toán
Thành viên
8 Tháng mười một 2021
1,806
4
2,216
316
Bà Rịa - Vũng Tàu
Cho dãy số [imath](u_n)[/imath] xác định bởi [imath]\begin{cases} u_1 = 2023 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n^4 + 2022^2}{u_n^3 - u_n + 4044} \end{cases}[/imath][imath]\forall n \in \mathbb{N}^{*}[/imath]
a)CMR: [imath]u_n > 2022, \forall n \in N^*[/imath]
b)Đặt [imath]S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n},\forall n \in \mathbb{N}^*[/imath]
Tính [imath]lim S_n[/imath]
Thảo_UwU
a) Ta có: [imath]u_1=2023>2022[/imath]

Giả sử với [imath]n=k[/imath] ta có: [imath]u_k>2022[/imath]
Ta chứng minh với [imath]n=k+1[/imath] ta có: [imath]u_{k+1}>2022[/imath]

[imath]u_{k+1}-2022=\dfrac{u_k^4+2022^2}{u_k^3-u_k+4044}-2022[/imath]

[imath]=\dfrac{u_k^4-2022u_k^3+2022u_k-2022^2}{u_k^3-u_k+4044}=\dfrac{(u_k^3+2022)(u_k-2022)}{u_k^3-u_k+4044}>0\Rightarrow u_{k+1}>2022[/imath]

Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có [imath]u_n>2022\forall n\in \mathbb{N}^*[/imath]

b) em thiếu đề nhé

Có gì khúc mắc em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân
 
  • Love
Reactions: Thảo_UwU

chi254

Cựu Mod Toán
Thành viên
12 Tháng sáu 2015
3,306
3
4,627
724
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Cho dãy số [imath](u_n)[/imath] xác định bởi [imath]\begin{cases} u_1 = 2023 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n^4 + 2022^2}{u_n^3 - u_n + 4044} \end{cases}[/imath][imath]\forall n \in \mathbb{N}^{*}[/imath]
a)CMR: [imath]u_n > 2022, \forall n \in N^*[/imath]
b)Đặt [imath]S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{u_k^3 + 2022},\forall n \in \mathbb{N}^*[/imath]
Tính [imath]lim S_n[/imath]
Thảo_UwU
b) [imath]u_{n+1} - 2022 = \dfrac{u_n^4 + 2022^2 - 2022u_n^3 + 2022u_n - 2.2022^2}{u_n^3 - u_n + 4044}[/imath]

[imath]\iff u_{n+1} - 2022 = \dfrac{u_n^4 + 2022^2 - 2022u_n^3 + 2022u_n - 2022^2 }{u_n^3 - u_n + 4044}[/imath]

[imath]\iff u_{n+1} - 2022 = \dfrac{ (u_n^3 + 2022)(u_n -2022)}{u_n^3 - u_n + 4044}[/imath]

[imath]\iff \dfrac{1}{u_{n+1} - 2022} = \dfrac{ u_n^3 +2022 - (u_n -2022) }{(u_n^3 + 2022)(u_n -2022)}[/imath]

[imath]\iff \dfrac{1}{u_{n+1} - 2022} = \dfrac{1}{u_{n} - 2022} - \dfrac{1}{u_n^3 + 2022}[/imath]

[imath]\iff \dfrac{1}{u_n^3 + 2022} = \dfrac{1}{u_{n} - 2022} - \dfrac{1}{u_{n +1} - 2022}[/imath]

Suy ra: [imath]S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{u_k^3 + 2022} = \dfrac{1}{u_1 - 2022} - \dfrac{1}{u_2 - 2022} + \dfrac{1}{u_3 - 2022} - .... + \dfrac{1}{u_{n} - 2022} - \dfrac{1}{u_{n +1} - 2022} = \dfrac{1}{u_1 - 2022} - \dfrac{1}{u_{n +1} - 2022} [/imath]

Có gì không hiểu thì em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân
 
  • Wow
Reactions: Thảo_UwU
Top Bottom