Toán 11 Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=3,\,\, 2u_{n+1}=u_n+1$ với mọi $n \ge 1$

[Linh Pea 515]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=3,\,\, 2u_{n+1}=u_n+1$ với mọi $n \ge 1$

Gọi $S_n$ là tổng n số hạng đầu tiên của dãy $u_n$. Tìm $\lim S_n$

mong mọi người giúp em bày này

 

[vangiang124]

View attachment 201478
mong mọi người giúp em bày này

Ta có: $2u_{n+1}=u_n+1 \iff u_{n+1}= \dfrac{1}2 u_n+\dfrac{1}2$

Đặt $v_n= u_n-1 \implies v_{n+1}=u_{n+1}-1=\dfrac{1}2 u_n+\dfrac{1}2-1=\dfrac{1}2(u_n-1)=\dfrac{1}2 v_n$

Vậy $(v_n)$ là một cấp số nhân có công bội $q=\dfrac12$

Gọi $T_n$ là tổng n số hạng đầu tiên của $(v_n)$

Ta có: $T_n=v_1 \dfrac{1-q^n}{1-q}=2v_1\Big(1-\Big(\dfrac12\Big)^n\Big)$

Lại có $S_n=u_1+u_2+...+u_n\\ = (v_1+1)+(v_2+1)+...+(v_n+1)\\ = (v_1+v_2+...+v_n)+1\cdot n =T_n+n$

Suy ra $S_n=2v_1\Big(1-\Big(\dfrac12\Big)^n\Big)+n$

Vậy $\lim S_n=+\infty$

__________
1. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
2. Tổ hợp xác suất
3. Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân
4. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
5. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song