BĐT ban đầu tương đương với [imath]\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \right)^2 \geq \dfrac{1}{4}(\sqrt{3a^2+b^2}+\sqrt{3b^2+c^2}+\sqrt{3c^2+a^2})^2[/imath]
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có: [imath](\sqrt{3a^2+b^2}+\sqrt{3b^2+c^2}+\sqrt{3c^2+a^2})^2 \leq 3(3a^2+b^2+3b^2+c^2+3c^2+a^2)=12(a^2+b^2+c^2)[/imath]
Từ đó ta chỉ cần chứng minh [imath]\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \right) ^2 \geq 3(a^2+b^2+c^2)[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{a^4}{b^2}+\dfrac{b^4}{c^2}+\dfrac{c^4}{a^2}+2\left( \dfrac{a^2b}{c}+\dfrac{b^2c}{a}+\dfrac{c^2a}{b} \right) \geq 3(a^2+b^2+c^2)[/imath]
Áp dụng BĐT Cauchy ta có [imath]\dfrac{a^2b}{c}+bc \geq 2ab[/imath]
Tương tự cộng vế theo vế ta có [imath]\dfrac{a^2b}{c}+\dfrac{b^2c}{a}+\dfrac{c^2a}{b} \geq ab+bc+ca[/imath]
Tiếp tục dùng BĐT Cauchy ta được [imath]\dfrac{a^4}{b^2}+ab+ab \geq 3a^2[/imath]
Từ đó cộng vế theo vế ta được [imath]\dfrac{a^4}{b^2}+\dfrac{b^4}{c^2}+\dfrac{c^4}{a^2}+2\left( \dfrac{a^2b}{c}+\dfrac{b^2c}{a}+\dfrac{c^2a}{b} \right) \geq \dfrac{a^4}{b^2}+\dfrac{b^4}{c^2}+\dfrac{c^4}{a^2}+2(ab+bc+ca) \geq 3(a^2+b^2+c^2)[/imath]
Vậy ta có đpcm.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
