Anh giúp em bài này được không?
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}=1$
Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{a+bc}+ \frac{b^2}{b+ca}+ \frac{c^2}{c+ab} \geq \frac{a+b+c}{4}$
[tex]\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}=1\rightarrow ab+bc+ca=abc[/tex]
Xét cái này:
[tex]\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{a^2+abc}=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a^3}{(a+b)(a+c)}[/tex]
Mà [tex]\frac{a^3}{(a+b)(a+c)} +\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq \frac{3}{4}a[/tex](1)
Tương tự CM được
[tex]\frac{b^3}{(c+b)(a+b)} +\frac{c+b}{8}+\frac{a+b}{8}\geq \frac{3}{4}b(2)\\\frac{c^3}{(c+a)(c+b)} +\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\geq \frac{3}{4}c(3)[/tex]
TỪ (1) (2) (3) suy ra
[tex]\frac{a^2}{a+bc}+ \frac{b^2}{b+ca}+ \frac{c^2}{c+ab}+\frac{4(a+b+c)}{8} \geq \frac{3}{4}(a+b+c)\\\rightarrow \frac{a^2}{a+bc}+ \frac{b^2}{b+ca}+ \frac{c^2}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}(dpcm)[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
