Toán 9 c/m số chính phương

[simple102bruh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số hữu tỉ thoả mãn $\dfrac{1}{a+bc}+\dfrac{1}{b+ca}=\dfrac{1}{a+b}$.

CMR $\dfrac{c-3}{c-1}$ là bình phương của số hữu tỉ


Mọi người giúp em câu này với ạ

 

[7 1 2 5]

Ta có: $\dfrac{1}{a+bc}+\dfrac{1}{b+ca}=\dfrac{1}{a+b}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{a+b+bc+ca}{(a+bc)(b+ca)}=\dfrac{1}{a+b}$

$ \Leftrightarrow (a+bc)(b+ca)=(a+b)^2(c+1) $

$\Leftrightarrow ab(c^2+1)+c(a^2+b^2)=(a+b)^2(c+1)$

$ \Leftrightarrow c(a^2+b^2)+a^2+b^2+2ab(c+1)=ab(c^2+1)+c(a^2+b^2)$

$\Leftrightarrow (a+b)^2=ab(c-1)^2 \Rightarrow ab=\dfrac{(a+b)^2}{(c-1)^2}$ là bình phương 1 số hữu tỉ.

Lại có: $(a+b)^2=ab(c-1)^2 \Rightarrow c-1=\pm \dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}$

+ Nếu $c-1=\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}} \Rightarrow c+1=\dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{\sqrt{ab}}$

Khi đó $\dfrac{c-3}{c+1}=1-\dfrac{4}{c+1}=1-\dfrac{4\sqrt{ab}}{\Big(\sqrt{a}+\sqrt{b}\Big)^2}$

$=\Big(\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\Big)^2=\Big(\dfrac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}\Big)^2$ là bình phương số hữu tỉ do $\sqrt{ab}$ là số hữu tỉ.

+ Nếu $c-1=-\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}$ thì cũng tương tự ta có đpcm.

Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.