Ta có: $\dfrac{1}{a+bc}+\dfrac{1}{b+ca}=\dfrac{1}{a+b}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{a+b+bc+ca}{(a+bc)(b+ca)}=\dfrac{1}{a+b}$
$ \Leftrightarrow (a+bc)(b+ca)=(a+b)^2(c+1) $
$\Leftrightarrow ab(c^2+1)+c(a^2+b^2)=(a+b)^2(c+1)$
$ \Leftrightarrow c(a^2+b^2)+a^2+b^2+2ab(c+1)=ab(c^2+1)+c(a^2+b^2)$
$\Leftrightarrow (a+b)^2=ab(c-1)^2 \Rightarrow ab=\dfrac{(a+b)^2}{(c-1)^2}$ là bình phương 1 số hữu tỉ.
Lại có: $(a+b)^2=ab(c-1)^2 \Rightarrow c-1=\pm \dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}$
+ Nếu $c-1=\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}} \Rightarrow c+1=\dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{\sqrt{ab}}$
Khi đó $\dfrac{c-3}{c+1}=1-\dfrac{4}{c+1}=1-\dfrac{4\sqrt{ab}}{\Big(\sqrt{a}+\sqrt{b}\Big)^2}$
$=\Big(\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\Big)^2=\Big(\dfrac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}\Big)^2$ là bình phương số hữu tỉ do $\sqrt{ab}$ là số hữu tỉ.
+ Nếu $c-1=-\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}$ thì cũng tương tự ta có đpcm.
Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.