Toán 9 BĐT

[Cjafje]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a)Cho a, b > 0 và ab >1. Chứng minh rằng:[tex]\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}[/tex]
b)Chứng minh rằng: [tex]\frac{1}{1+a^{4}}+\frac{1}{1+b^{4}}+\frac{1}{1+c^{4}}\geq \frac{1}{1+ab^{3}}+\frac{1}{1+bc^{3}}+\frac{1}{1+ca^{3}}[/tex]

 

[TranPhuong27]

a) BĐT <=> [tex]\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}>=0[/tex]
<=> [TEX](ab-1)(a-b)^2 >= 0[/TEX] ( luôn đúng vì ab > 1 )
b) Áp dụng a)

 

[7 1 2 5]

b) Ta có:[tex]\left\{\begin{matrix} \frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}\geq \frac{2}{1+a^2b^2}\\ \frac{1}{1+b^4}+\frac{1}{1+c^4}\geq \frac{2}{1+b^2c^2}\\ \frac{1}{1+c^4}+\frac{1}{1+a^4}\geq \frac{2}{1+c^2a^2} \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{1}{1+c^4}\geq \frac{1}{1+a^2b^2}+\frac{1}{1+b^2c^2}+\frac{1}{1+c^2a^2}[/tex]
Lại có:[tex]\left\{\begin{matrix} \frac{1}{1+a^2b^2}+\frac{1}{1+b^4}\geq \frac{2}{1+ab^3}\\ \frac{1}{1+b^2c^2}+\frac{1}{1+c^4}\geq \frac{2}{1+bc^3}\\ \frac{1}{1+c^2a^2}+\frac{1}{1+a^4}\geq \frac{2}{1+ca^3} \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{1+a^2b^2}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{1}{1+b^2c^2}+\frac{1}{1+c^4}+\frac{1}{1+c^2a^2}+\frac{1}{1+a^4}\geq \frac{2}{1+ab^3}+\frac{2}{1+bc^3}+\frac{2}{1+ca^3}\Rightarrow \frac{2}{1+a^4}+\frac{2}{1+b^4}+\frac{2}{1+c^4}\geq \frac{1}{1+a^2b^2}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{1}{1+b^2c^2}+\frac{1}{1+c^4}+\frac{1}{1+c^2a^2}+\frac{1}{1+a^4}\geq \frac{2}{1+ab^3}+\frac{2}{1+bc^3}+\frac{2}{1+ca^3}\Rightarrow \frac{1}{1+a^{4}}+\frac{1}{1+b^{4}}+\frac{1}{1+c^{4}}\geq \frac{1}{1+ab^{3}}+\frac{1}{1+bc^{3}}+\frac{1}{1+ca^{3}}[/tex]