BDT toán 8+

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

a , b là các số không âm sao cho [TEX] a + b = 2[/TEX]
Tìm Max [TEX] C = a^2(a^3 + b^3) + a(a^2 + b^2)[/TEX]

[TEX]C \leq 8(a^2-ab+b^2)+2(a^2+b^2) \leq 10(a^2+b^2) \leq 40[/TEX]
[TEX]"=" \Leftrightarrow a=2, b=0[/TEX]

 

[conan_edogawa93]

Cho a,b,c>0
CMR:
[TEX]\sqrt{\frac{(a+b)^3}{8ab(4a+4b+c)}}+\sqrt{\frac{b+c)^3}{8bc(4b+4c+a)}}+\sqrt{\frac{(c+a)^3}{8ac(4c+4a+b)}} \geq 1[/TEX]

Cách 1:
Chuẩn hóa [tex]a+b+c=1.[/tex]
[tex]A=VT\\B=\sum 8ab(4a+4b+c)\\A^2B\ge^{Bunhiacopxki}8(a+b+c)^3=8\\C/m::8\ge B\\<=>\sum ab(4a+4b+c)\le 1\\<=>a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\ge 0[/tex]
(luôn đúng)

Còn 1 cách khác là xài Holder cũng ổn . Nhanh và gọn

 

[0915549009]

Cho a,b,c>0
CMR:
[TEX]\sqrt{\frac{(a+b)^3}{8ab(4a+4b+c)}}+\sqrt{\frac{b+c)^3}{8bc(4b+4c+a)}}+\sqrt{\frac{(c+a)^3}{8ac(4c+4a+b)}} \geq 1[/TEX]

[TEX]P =\sqrt{\frac{(a+b)^3}{8ab(4a+4b+c)}}+\sqrt{\frac{b+c)^3}{8bc(4b+4c+a)}}+\sqrt{\frac{(c+a)^3}{8ac(4c+4a+b)}} [/TEX]
[TEX]Q = 8ab(4a+4b+c)+8bc(4b+4c+a)+8ac(4c+4a+b) =32(a+b+c)(ab+bc+ca)-72abc [/TEX]
[TEX]Holder \Rightarrow P^2.Q \geq 8(a+b+c)^3[/TEX]
Cần CM: [TEX]8(a+b+c)^3 \geq Q \Leftrightarrow 8(a+b+c)^3 \geq 32(a+b+c)(ab+bc+ca) - 72abc \Leftrightarrow (a+b+c)^3+9abc \geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca) [/TEX]
Đúng theo schur \Rightarrow BĐT đc CM

Cái này thấy trong file của anh rua_it nên cop nhặt về :">

 

[jerry_kid_97]

[TEX]C \leq 8(a^2-ab+b^2)+2(a^2+b^2) \leq 10(a^2+b^2) \leq 40[/TEX]
[TEX]"=" \Leftrightarrow a=2, b=0[/TEX]

cho tớ hỏi sao [TEX]10(a^2 + b^2) \leq 40[/TEX] vậy !>?????

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

cho tớ hỏi sao [TEX]10(a^2 + b^2) \leq 40[/TEX] vậy !>?????

[TEX]a^2+b^2=4-2ab \leq 4[/TEX]
......................................................................

 

[linhhuyenvuong]

tớ ko hiểu cách của bạn ?????
[TEX]\left{\begin{a^{k-1} \leq b^{k-1} \leq c^{k-1}}\\{\frac{a}{b+c} \leq\frac{b}{c+a}\leq\frac{c}{a+b}} [/TEX]
hình như nó mất hết cả tính tôngr quát rồi , nếu giả sử đc như trên thì chắc với bdt nebitddùng cách này đc !??? p\s : nó dường như sai rồi
Liệu 2 dãy này có đơn điệu với nhau không >>>??? cm hộ mình cái

p/s : hỏi tý chớ trêbưsep là cái bdt gì vậy ???? nhìn qua thấy giống chebyshev mà sao độc là trê bư sép ta >>>???

______________-----
Tại sao nó lại mất hết tính tổng quát?????????
2 dãy tại sao đơn điệu??///
Làm thế để áp dụng BDT trebusep
P/S; wen rồi,gọi cho zui.
Thực ra nó là chebyshev

 

[linhhuyenvuong]

CMR:
[TEX](ma+\frac{n}{b+c})^p+(m.b+\frac{n}{c+a})^p+(m.c+ \frac{n}{a+b})^p \geq 3(m.\sqrt{\frac{k}{3}} +\frac{n.\sqrt{3}}{2.\sqrt{k}})^p[/TEX]

[TEX] a,b,c >0[/TEX]
m,n,p ,k (p \geq 2) là các số tự nhiên thoả mãn: [TEX]a^2+b^2+c^2=k[/TEX]

 

[jerry_kid_97]

______________-----
Tại sao nó lại mất hết tính tổng quát?????????
2 dãy tại sao đơn điệu??///
Làm thế để áp dụng BDT trebusep
P/S; wen rồi,gọi cho zui.
Thực ra nó là chebyshev

Sai chứ mất gì nữa !?
Ở VT bà chj giả sử [TEX]a^{k -1} \leq b^{k -1} \leq c^{k -1} \Rightarrow a \leq b \leq c[/TEX]
Nhưng ở vế duớibạn lấy bằng chứng đâu mà lại tự tiện cho

[TEX]\frac{a}{b + c} \leq \frac{b}{a + c} \leq \frac{c}{a + b}[/TEX]

Nếu cách này đúng thì dùng nó chứng minh bdt nesbit 3 biến thì tốt ! Tuy nhiên bạn giả sử ko đúng cho lắm !

 

[linhhuyenvuong]

Lúc tối ta onl muộn nên chưa kịp đăng bài!
Sr! Bây giờ mới onl lại nên đăng muộn vậy!

Không mất tính chất tổng quát ta có:

[TEX]\left{\begin{a^{k-1} \leq b^{k-1} \leq c^{k-1}}\\{\frac{a}{b+c} \leq\frac{b}{c+a}\leq\frac{c}{a+b}} [/TEX]

Áp dung Trebusep:

[TEX]\frac{a^k}{b+c}+\frac{b^k}{c+a}+\frac{c^k}{a+b} \geq \frac{1}{3}(a^{k-1}+b^{k-1}+c^{k-1})(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq \frac{a^{k -1} + b^{k -1} + c^{k -1}}{2}[/TEX]
Do [TEX]\frac{a}{b+c}+\fra{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}[/TEX]

wen! thiếu .....................................................
giả sử
[TEX]0< a \leq b \leq c[/TEX]
Không mất tính chất tổng quát ta có:

[TEX]\left{\begin{a^{k-1} \leq b^{k-1} \leq c^{k-1}}\\{\frac{a}{b+c} \leq\frac{b}{c+a}\leq\frac{c}{a+b}} [/TEX]

 

[linhhuyenvuong]

wen! thiếu .....................................................
giả sử
[TEX]0< a \leq b \leq c[/TEX]
Không mất tính chất tổng quát ta có:

[TEX]\left{\begin{a^{k-1} \leq b^{k-1} \leq c^{k-1}}\\{\frac{a}{b+c} \leq\frac{b}{c+a}\leq\frac{c}{a+b}} [/TEX]

[TEX]\frac{a}{b+c} \leq \frac{b}{b+c} ( b \geq a)[/TEX]
[TEX]\frac{b}{b+c} \leq \frac{b}{a+c} ( a+c \leq b+c)[/TEX]
-> [TEX] \frac{a}{b+c} \leq \frac{b}{a+c} [/TEX]

 

[mua_buon_97]

Cho [TEX] a,b,c >0[/TEX]
CMR:
[TEX]\frac{1+\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} (a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq a+b+c + \sqrt{a^2+b^2+c^2}[/TEX]

 

[mua_buon_97]

Thêm bài nữa:

Cho [TEX] a,b,c >0; abc=1[/TEX]
CMR:
[TEX]\frac{a^3}{(a+1)(b+1)} +\frac{b^3}{(c+1)(b+1)} +\frac{c^3}{(a+1)(c+1)} \geq \frac{3}{4}[/TEX]

P/s: VERY EASY!!!!!!!!!!!!

 

[01263812493]

Cho [TEX] a,b,c >0[/TEX]
CMR:
[TEX]\frac{1+\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} (a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq a+b+c + \sqrt{a^2+b^2+c^2}[/TEX]

[TEX]\blue VT \geq \frac{1+\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} (a^2+b^2+c^2). \frac{9}{a+b+c}=\frac{(a^2+b^2+c^2)(3+sqrt{3})}{a+b+c}[/TEX]

[TEX]\blue Dat: \ \left{x=a^2+b^2+c^2 \\ y=a+b+c \right. \ \ \ \rightarrow 3x \geq y^2[/TEX]

[TEX]\blue BDT \leftrightarrow \frac{x(3+\sqrt{3})}{y} \geq y+\sqrt{x}[/TEX]

[TEX]\blue \leftrightarrow x(3+\sqrt{3}) \geq y^2+y\sqrt{x} \rightarrow Right \ Because:[/TEX]

[TEX]\blue \left{y^2 \leq 3x \\ y\sqrt{x} \leq x\sqrt{3}[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

Thêm bài nữa:

Cho [TEX] a,b,c >0; abc=1[/TEX]

CMR:
[TEX]\frac{a^3}{(a+1)(b+1)} +\frac{b^3}{(c+1)(b+1)} +\frac{c^3}{(a+1)(c+1)} \geq \frac{3}{4}[/TEX]

P/s: VERY EASY!!!!!!!!!!!!

Bằng niềm tin và AM - GM ta có
[TEX]\frac{a^3}{(a+1)(b+1)} + \frac{a + 1}{8} + \frac{b +1}{8} \geq 3\sqrt{\frac{a^3}{64}} = \frac{3a}{4}[/TEX]
Cứ tiếp tực xây dựng ta sẽ có

[TEX]\sum \frac{a^3}{(a+1)(b+1)} \geq \frac{a + b +c}{2} - \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} [/TEX] (theo AM - GM)
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a = b = c = 1

 

[thienlong_cuong]

Thêm bài nữa:

Cho [TEX] a,b,c >0; abc=1[/TEX]

CMR:
[TEX]\frac{a^3}{(a+1)(b+1)} +\frac{b^3}{(c+1)(b+1)} +\frac{c^3}{(a+1)(c+1)} \geq \frac{3}{4}[/TEX]

P/s: VERY EASY!!!!!!!!!!!!

Tih` cờ gặp chú holder
[TEX]VT(a + b + c +3)^2 \geq (a + b + c)^3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT \geq \frac{(a + b + c)^3}{(a + b + c + 3)^2} \geq \frac{(a + b + c)^3}{4(a + b +c)^2} = \frac{a + b + c}{4} \geq \frac{3}{4}[/TEX]

(do [TEX]a + b + c \geq 3\sqrt{abc} = 3[/TEX])

 

[linhhuyenvuong]

Cho n số thực dương [TEX] a_1, a_2, a_3,...a_n[/TEX]
CMR:
[TEX]\frac{a_1^4}{(a_1+a_2)(a_1^2+a_2^2)} +\frac{a_2^4}{a_2+a_3)(a_2^2+a_3^2)}+...+\frac{a_n^4}{(a_n+a_1)(a_n^2+a_1^2)} \geq \frac{1}{4}(a_1+a_2+....+a_n) [/TEX]

Dấu ''='' khi nào??????????

 

[thienlong_cuong]

Cho n số thực dương [TEX] a_1, a_2, a_3,...a_n[/TEX]
CMR:
[TEX]\frac{a_1^4}{(a_1+a_2)(a_1^2+a_2^2)} +\frac{a_2^4}{a_2+a_3)(a_2^2+a_3^2)}+...+\frac{a_n^4}{(a_n+a_1)(a_n^2+a_1^2)} \geq \frac{1}{4}(a_1+a_2+....+a_n) [/TEX]

Dấu ''='' khi nào??????????

Bài ni khó nên tui đành cầu viện sự giúp đỡ của đại sư huynh!
Dễ thấy
[TEX](a_j + a_k)(a_j^2 + a_k^2) \leq 2(a_j^3 + a_k^3)[/TEX]

Thế j và k theo như mong muốn

[TEX]\Rightarrow VT \geq \frac{1}{2}.\sum \frac{a_1^4}{a_1^3 + a_2^3}[/TEX]
Giờ cần chứng minh

[TEX]\frac{1}{2}.\sum \frac{a_1^4}{a_1^3 + a_2^3} \geq \frac{\sum a_1}{4}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{a_1^4}{a_1^3 + a_2^3} \geq \frac{\sum a_1}{2}[/TEX]

Tới đây là nước mà em cần cầu cứu sư huynh !
Nghe sư huynh nói dùng S.O.S !

[TEX]\frac{2a^4}{a^3 + b^3} - a = \frac{a(a^3 - b^3)}{a^3 + b^3} = \frac{a(a -b)(a^2 + ab + b^2)}{a^3 + b^3}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{2a^4}{a^3 + b^3} - a - \frac{3(a - b)}{2} = (a - b)[\frac{(a(a^2 + ab + b^2)}{a^3 + b^3} - \frac{3}{2}] = \frac{-a^3 + 2a^2b + 2b^2a - 3b^3}{2(a^3 + b^3)}.(a - b) = (a- b)^2.\frac{3b^2 + ab - a^2}{a^3 + b^3}[/TEX]

thay a và b bằng các cặp số thích hợp

Cần chứng minh cái cục này ko âm
tức
[TEX]\frac{2a^4}{a^3 + b^3} - a - \frac{3(a - b)}{2} \geq 0[/TEX]

hay

[TEX](a- b)^2.\frac{3b^2 + ab - a^2}{a^3 + b^3} \geq 0 [/TEX]

cứ từ từ giả sử [TEX]a \geq b \geq c[/TEX] và hoán vị hây !
p/s: Choáng !
Dung định lí s.o.s ! oh my god !

 

[linhhuyenvuong]

Bài ni khó nên tui đành cầu viện sự giúp đỡ của đại sư huynh!
Dễ thấy
[TEX](a_j + a_k)(a_j^2 + a_k^2) \leq 2(a_j^3 + a_k^3)[/TEX]

Thế j và k theo như mong muốn

[TEX]\Rightarrow VT \geq \frac{1}{2}.\sum \frac{a_1^4}{a_1^3 + a_2^3}[/TEX]
Giờ cần chứng minh

[TEX]\frac{1}{2}.\sum \frac{a_1^4}{a_1^3 + a_2^3} \geq \frac{\sum a_1}{4}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{a_1^4}{a_1^3 + a_2^3} \geq \frac{\sum a_1}{2}[/TEX]

Tới đây là nước mà em cần cầu cứu sư huynh !
Nghe sư huynh nói dùng S.O.S !

[TEX]\frac{2a^4}{a^3 + b^3} - a = \frac{a(a^3 - b^3)}{a^3 + b^3} = \frac{a(a -b)(a^2 + ab + b^2)}{a^3 + b^3}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{2a^4}{a^3 + b^3} - a - \frac{3(a - b)}{2} = (a - b)[\frac{(a(a^2 + ab + b^2)}{a^3 + b^3} - \frac{3}{2}] = \frac{-a^3 + 2a^2b + 2b^2a - 3b^3}{2(a^3 + b^3)}.(a - b) = (a- b)^2.\frac{3b^2 + ab - a^2}{a^3 + b^3}[/TEX]

thay a và b bằng các cặp số thích hợp

Cần chứng minh cái cục này ko âm
tức
[TEX]\frac{2a^4}{a^3 + b^3} - a - \frac{3(a - b)}{2} \geq 0[/TEX]

hay

[TEX](a- b)^2.\frac{3b^2 + ab - a^2}{a^3 + b^3} \geq 0 [/TEX]

cứ từ từ giả sử [TEX]a \geq b \geq c[/TEX] và hoán vị hây !
p/s: Choáng !
Dung định lí s.o.s ! oh my god !

KO HIỂU GÌ HẾT!!
LẰNG NHẰNG< RẮC RÔIS>
Sinh ra chất xám đã ko phát triển nhiều..........

Nguyên văn bởi ......noname.....
Đặt vế trái BDT là P và đặt
[TEX]Q=\frac{a_2^4}{(a_1+a_2)(a_1^2+a_2^2)} +\frac{a_3^4}{a_2+a_3)(a_2^2+a_3^2)}+...+\frac{a_1^4}{(a_n+a_1)(a_n^2+a_1^2)} [/TEX]

[TEX]P-Q=(a_1^4+a_2^4+...+a_n^4)-(a_2^4+a_3^4+....+a_1^4)=0[/TEX]
\Rightarrow [TEX]P=Q \Rightarrow P=\frac{1}{2}(P+Q)[/TEX]
BDT chung minh tương đương vs

[TEX]\frac{a_1^4+a_2^4}{(a_1+a_2)(a_1^2+a_2^2)} +\frac{a_2^4+a_3^4}{(a_2+a_3)(a_2^2+a_3^2)}+..+ \frac{a_n^4+a_1^4}{(a_n+a_1)(a_n^2+a_1^2)} \geq \frac{1}{2}(a_1+a_2+...+a_n) [/TEX]
Co:
[TEX]2(a_1^2+a_2^2) \geq (a_1+a_2)^2[/TEX]
[TEX]2(a_1^4+a_2^4) \geq (a_1^2+a_2^2)^2[/TEX]

[TEX]2(a_1^4+a_2^4).2(a_1^4+a_2^4) \geq 2(a_1^2+a_2^2).2(a_1^4+a_2^4) \geq (a_1+a_2)^2.(a_1^2+a_2^2)^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX] 4(a_1^4+a_2^4) \geq (a_1+a_2)^2.(a_1^2+a_2^2)^2 [/TEX]

\Rightarrow [TEX]\frac{a_^4+a_2^4}{a_1+a_2)(a_1^2+a_2^2)}[/TEX]

Tương tự => DPCM

 

[try_to_forget_all_things]

Cho [TEX]x,y,z >1[/TEX] sao cho [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}=2[/TEX]
CMR:

[TEX]\sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

Cho [TEX]x,y,z >1[/TEX] sao cho [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}=2[/TEX]
CMR:

[TEX]\sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}[/TEX]

oh my god !
Thấy cauchy schwar mà hoa mắt rung chân

[TEX](x +y + z)(\frac{x - 1}{x} + \frac{y - 1}{y} + \frac{z - 1}{z}) \geq (\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1} + \sqrt{z - 1})^2[/TEX]

Dễ dàng thấy [TEX]\frac{x - 1}{x} + \frac{y - 1}{y} + \frac{z - 1}{z} = 1[/TEX] \Rightarrow đpcm