Cho n số thực ko âm [TEX]a_1;a_2......a_k[/TEX]
và [TEX]a_1+a_2+..+a_k=1[/TEX]
CMR:
[TEX]\frac{a_1^q+a_2^q+....+a_k^q}{k^p}\geq \frac{a_1^p+a_2^p+...+a_k^p}{k^q} \forall q \geq p[/TEX]
Xin đổi biến p và p thành n và m nhằm dễ nhìn , đỡ nhầm lẫn. Nguyên đề là
[TEX]\frac{a_1^n+a_2^n+....+a_k^n}{k^m}\geq \frac{a_1^m+a_2^m+...+a_k^m}{k^n} \forall n \geq m[/TEX]
KHông khó khăn lắm để có :
[TEX]ma_j^n + \frac{n -m}{k^n} \geq n\sqrt[n]{a_j^{m.n}.\frac{1}{k^{n(n - m)}}} = na_j^m.\frac{1}{k^{n -m}}[/TEX]
Cho j chạy từ [TEX]{1\to k}[/TEX] thì hiển nhiên ta có
[TEX]m\sum a_1^n + \frac{k(n - m)}{k^n} \geq \frac{n}{k^{n - m}}.\sum a_1^m[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow m.k^{n -m}\sum a_1^n + \frac{( n - m)k^{n - m +1}}{k^n} \geq n\sum a_1^m[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow m.k^{n -m}\sum a_1^n \geq n\sum a_1^m - \frac{( n - m)k^{n - m +1}}{k^n}[/TEX]
Ta cần chứng minh bdt sau đúng
[TEX](n - m)\sum a_1^m \geq \frac{n - m}{k^{m -1}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sum a_1^m \geq \frac{1}{k^{n -m}}[/TEX]
Cái này bạn chứng minh chắc đc chớ , Đây cũng chính la` 1 hệ quả quan trọng của BDT trên
Không biết có đúng ko nữa , đánh latex cho loạn cả lên hết :-w nhớ thank me đó nhé
