BDT toán 8+

[thienlong_cuong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tội nghiệp cho box toán 8 sao mà ít dân cư quá vậy !

Cho các số thực dương x ; y ; z thoả mãn [TEX]x + y + z = 1[/TEX]

CMR :
[TEX]P = \frac{x}{1 + x^2} + \frac{y}{1 + y^2} + \frac{z}{1 + z^2} \leq \frac{9}{10}[/TEX]

ha ha ha ha ha ! Nhìn chứ gà như vịt !

 

[linhhuyenvuong]

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=159557&page=2

 

[thienlong_cuong]

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=159557&page=2

Trí nhớ quá tai hại!
Phải mua thuốc về uống thôi !
Chắc mất hết trí nhớ ùi !
Thui thì đành chịu !

Tuy đã post nhưng quên mất ! Vả lại cũng chả nhớ nên đành làm cách khác !
post cảnh cho zui !
Lời đầu tiên em xin phép : Mong các bác thông cảm ! cais kí hiệu tổng đối xứng em mới học nên còn khá ngu ! Mong các bác thông cảm !
Ta có :


[TEX]\sum \frac{x}{1 + x^2} = 1 - ( \sum \frac{x^3}{x^2 +1})[/TEX]

Xét :

[TEX] \frac{x^3}{x^2 +1} + \frac{3}{100}(1 + x^2) + \frac{1}{30} \geq \frac{3}{10}x[/TEX]

Xây dựng các BDT tương tự

[TEX]\Rightarrow \sum \frac{x^3}{x^2 +1} \geq \frac{3}{10}(x + y + z} - \frac{1}{10} - \frac{9}{100} - \frac{3}{100}(x^2 + y^2 + z^2)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \sum \frac{x^3}{x^2 +1} \geq \frac{3}{10} - \frac{1}{10} - \frac{9}{100} - \frac{3}{100}.\frac{1}{3} = \frac{1}{9}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT \leq 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \Rightarrow OK [/TEX]

 

[satthutamhon]

Bạn hãy chứng minh rằng :

[TEX]a(x_1 + x_2 + ... + x_n) + b(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}) \geq \frac{ak^2 + bn^2}{k}[/TEX]

Với [TEX]x_1 ; x_2 ; ... ; x_n > 0 (n > 2)[/TEX]

[TEX]ak^2 < bn^2[/TEX]

[TEX]x_1 + x_2 + ... + x_n \leq k[/TEX] (k là hằng số dương )

 

[linhhuyenvuong]

Cho [TEX] a,b,c >0[/TEX]
Cm:
[TEX]\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{a+c}+\frac{c^4}{a+b} \geq \frac{1}{2}(a^3+b^3+c^3)[/TEX]

dấu ''='' xảy ra khi nào?
P/S: làm bằng nhiều cách nhất có thể

 

[linhhuyenvuong]

Tội nghiệp cho box toán 8 sao mà ít dân cư quá vậy !

Cho các số thực dương x ; y ; z thoả mãn [TEX]x + y + z = 1[/TEX]

CMR :
[TEX]P = \frac{x}{1 + x^2} + \frac{y}{1 + y^2} + \frac{z}{1 + z^2} \leq \frac{9}{10}[/TEX]

ha ha ha ha ha ! Nhìn chứ gà như vịt !

_____________________________
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn [TEX]a+b+c=1[/TEX]
CMR:
[TEX]A=\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\geq\frac{9}{10}[/TEX]

P/S:Đề thế nào?Nhìn qua thì thấy gần như nhau!Bài này dễ lắm!

 

[tuyn]

Cho [TEX] a,b,c >0[/TEX]
Cm:
[TEX]\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{a+c}+\frac{c^4}{a+b} \geq \frac{1}{2}(a^3+b^3+c^3)[/TEX]

dấu ''='' xảy ra khi nào?
P/S: làm bằng nhiều cách nhất có thể

[TEX]VT=\frac{a^6}{a^2(b+c)}+\frac{b^6}{b^2(c+a)}+\frac{c^6}{c^2(a+b)} \geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)}[/TEX]
Ta có: [TEX]a^2(b+c)=a^2b+a^2c=a.a.b+a.a.c \leq \frac{2a^3+b^3}{3}+\frac{2a^3+c^3}{3}=\frac{4a^3+b^3+c^3}{3}[/TEX]
Tương tự: [TEX]b^2(c+a) \leq \frac{4b^3+c^3+a^3}{3}[/TEX]
[TEX]c^2(a+b) \leq \frac{4c^3+a^3+b^3}3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) \leq 2(a^3+b^3+c^3)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT \geq \frac{1}{2}(a^3+b^3+c^3)[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

 

[tuyn]

_____________________________
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn [TEX]x+y+z=1[/TEX]
CMR:
[TEX]A=\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\geq\frac{9}{10}[/TEX]

P/S:Đề thế nào?Nhìn qua thì thấy gần như nhau!Bài này dễ lắm!

[TEX]A=\frac{a^2}{a+abc}+\frac{b^2}{b+abc}+\frac{c^2}{1+abc} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3abc}[/TEX]
Ta có: [TEX]a+b+c=1[/TEX]
[TEX]abc \leq (\frac{a+b+c}{3})^3=\frac{1}{27}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A \geq \frac{1}{1+\frac{1}{9}}=\frac{9}{10}[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

[TEX]VT=\frac{a^6}{a^2(b+c)}+\frac{b^6}{b^2(c+a)}+\frac{c^6}{c^2(a+b)} \geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)}[/TEX]
Ta có: [TEX]a^2(b+c)=a^2b+a^2c=a.a.b+a.a.c \leq \frac{2a^3+b^3}{3}+\frac{2a^3+c^3}{3}=\frac{4a^3+b^3+c^3}{3}[/TEX]
Tương tự: [TEX]b^2(c+a) \leq \frac{4b^3+c^3+a^3}{3}[/TEX]
[TEX]c^2(a+b) \leq \frac{4c^3+a^3+b^3}3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) \leq 2(a^3+b^3+c^3)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT \geq \frac{1}{2}(a^3+b^3+c^3)[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Ko biết có giống như cách trên ko nhưng đại khái thế này !

[TEX]\frac{a^4}{b +c} + \frac{(b +c)a^2}{4} \geq a^3[/TEX]

Tiếp tục xây dựng các BDT tương tự

[TEX]\Rightarrow VT \geq a^3 + b^3 + c^3 - \frac{(b +c)a^2}{4}- \frac{(a +c)b^2}{4} + \frac{(a +b)c^2}{4} [/TEX]

đoạn tiếp theo hình như có trên bài của tuyn tiền bối thì phải ! Vì thế em xin gác lại here !
p/s : Nhìn qua thì đoán thế chứ ko chắc ! kiểm tra lại cấy ! he he

 

[thienlong_cuong]

Cho [TEX] a,b,c >0[/TEX]
Cm:
[TEX]\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{a+c}+\frac{c^4}{a+b} \geq \frac{1}{2}(a^3+b^3+c^3)[/TEX]

dấu ''='' xảy ra khi nào?
P/S: làm bằng nhiều cách nhất có thể

how do you fell ???

Cho các số thực dương a , b , c > 0
[TEX]\frac{a^4}{b^2(a +c)} + \frac{b^4}{c^2(a +b)} + \frac{c^4}{a^2(c + b)} \geq \frac{a + b +c}{2}[/TEX]

Thêm mấy cái yếu tố nhìn vô mà choáng !
p/s : bài này vịt lắm !

 

[tuyn]

how do you fell ???

Cho các số thực dương a , b , c > 0
[TEX]\frac{a^4}{b^2(a +c)} + \frac{b^4}{c^2(a +b)} + \frac{c^4}{a^2(c + b)} \geq \frac{a + b +c}{2}[/TEX]

Thêm mấy cái yếu tố nhìn vô mà choáng !
p/s : bài này vịt lắm !

Làm mấy bài này cũng hay đấy
Áp dụng BĐT Cauchy
[TEX]\frac{a^4}{b^2(a+c}+\frac{a+c}{4} \geq \frac{a^2}{b}[/TEX]
[TEX]\frac{b^4}{c^2(a+b)}+\frac{a+b}{4} \geq \frac{b^2}{c}[/TEX]
[TEX]\frac{c^4}{a^2(c+b)}+\frac{c+b}{4} \geq \frac{c^2}{a}[/TEX]
Cộng vế với vế 3 BĐT và chú ý:
[TEX]\frac{a^2}{b}+b \geq 2a[/TEX]
[TEX]\frac{b^2}{c}+c \geq 2b[/TEX]
[TEX]\frac{c^2}{a}+a \geq 2c[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geq a+b+c[/TEX]

 

[linhhuyenvuong]

how do you fell ???

Cho các số thực dương a , b , c > 0
[TEX]\frac{a^4}{b^2(a +c)} + \frac{b^4}{c^2(a +b)} + \frac{c^4}{a^2(c + b)} \geq \frac{a + b +c}{2}[/TEX]

Thêm mấy cái yếu tố nhìn vô mà choáng !
p/s : bài này vịt lắm !

Xét:
[TEX]\frac{a^4}{b^2(a+c)}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{a+c}{4 }\geq 4.\sqrt[4]{\frac{a^4}{b^2(a+c)}.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}.\frac{a+c}{4}}=2a[/TEX]

\Rightarrow[TEX]\frac{a^4}{b^2(a+c)}+b+\frac{a+c}{4} \geq2a(1)[/TEX]
Tương tự:
[TEX]\frac{b^4}{c^2(a+b)}+c+\frac{a+b}{4} \geq2b(2)[/TEX]

[TEX]\frac{c^4}{a^2(b+c)}+a+\frac{b+c}{4} \geq 2c (3)[/TEX]

cộng theo vế (1),(2),(3) đc ĐPCM

 

[thienlong_cuong]

ha ha ha ha ha ha h !
Cho 1 bài tổng quát 3 biến ! he he he
[TEX]\frac{a^k}{b +c} + \frac{b^k}{c +a} + \frac{c^k}{a +b} \geq \frac{a^{k -1} + b^{k -1} + c^{k -1}}{2}[/TEX]

oh my god ! Nesbit mở rộng !
Mới 3 biến thôi ! Chơi vs n biến thì tha hồ mà vui !

 

[tuyn]

Cho 1 bài tổng quát 3 biến ! he he he
[TEX]\frac{a^k}{b +c} + \frac{b^k}{c +a} + \frac{c^k}{a +b} \geq \frac{a^{k -1} + b^{k -1} + c^{k -1}}{2}[/TEX]

Áp dụng BĐT Cauchy cho k số gồm k-1 số [TEX]\frac{a^k}{b+c}[/TEX] và 1 số [TEX]\frac{(b+c)^{k-1}}{2^{k}}[/TEX]
[TEX](k-1).\frac{a^k}{b+c}+\frac{(b+c)^{k-1}}{2^{k}} \geq \frac{ka^{k-1}}{2}[/TEX]
Tương tự:
[TEX](k-1).\frac{b^k}{c+a}+\frac{(c+a)^{k-1}}{2^{k}} \geq \frac{kb^{k-1}}{2}}[/TEX]
[TEX](k-1).\frac{c^k}{a+b}+\frac{(a+b)^{k-1}}{2^{k}} \geq \frac{kc^{k-1}}{2}[/TEX]
Cộng vế với vế lại ta được:
[TEX](k-1).[\frac{a^k}{b +c} + \frac{b^k}{c +a} + \frac{c^k}{a +b}]+[\frac{(a+b)^{k-1}}{2^{k}}+\frac{(b+c)^{k-1}}{2^{k}}+\frac{(c+a)^{k-1}}{2^{k}}] \geq \frac{k}{2}.[a^{k-1}+b^{k-1}+c^{k-1}][/TEX]
Sau đó áp dụng BĐT: [TEX]A,B \geq 0 : (\frac{A+B}{2})^n \leq \frac{A^n+B^n}{2}[/TEX]
Thay vào rồi sẽ ra
[TEX]\frac{(a+b)^{k-1}}{2^{k}}=\frac{1}{2}.(\frac{a+b}{2})^{k-1} \leq \frac{a^{k-1}+b^{k-1}}{4}[/TEX]
Nếu có Cách khác ngắn hơn nhớ làm ra cho mình xem với nhé!Thank you

 

[maricosa]

Sao toàn bài khó thế này thui tui xin đóng góp 1 bài dễ vậy ( Làm cho thay đổi không khí ) )
Cho 1 số có 3 c/s. Khi xoá đi c/s hàng trăm của số đó thì số đó giảm đi 5 lần. Tìm số đã cho???

 

[thienlong_cuong]

Sao toàn bài khó thế này thui tui xin đóng góp 1 bài dễ vậy ( Làm cho thay đổi không khí ) )
Cho 1 số có 3 c/s. Khi xoá đi c/s hàng trăm của số đó thì số đó giảm đi 5 lần. Tìm số đã cho???

sao BDT lại chuyển sang số vậy!???

abc = 5bc
Giải cái ni là ỌK !

cHUYỂN SANG 1 BÀI KHÁ HẢO CU LẢ LA ! HA HA HA HA

[TEX]\frac{a^4}{c +b} + \frac{b^4}{a +c} + \frac{c^4}{b +a} \geq \frac{a^3 + b^3 + c^3}{2} [/TEX]

Hãy tưởng tượng ???

[TEX]\frac{a^4}{a + b} + \frac{b^4}{b +c} + \frac{c^4}{c +a} \geq \frac{a^3 + b^3 + c^3}{2} [/TEX]

Nếu đc thì chém dạng tổng quát hây ! he he he he !
p/s : Cấm dùng cách trên !

 

[trantheanh9726]

Oái rùi ui! Các bác gõ kí hiệu toán học thế nào tài thế! Em không pít gõ thế nào? Giúp dzới!

 

[conan_edogawa93]

cHUYỂN SANG 1 BÀI KHÁ HẢO CU LẢ LA ! HA HA HA HA



Hãy tưởng tượng ???

[TEX]\frac{a^4}{a + b} + \frac{b^4}{b +c} + \frac{c^4}{c +a} \geq \frac{a^3 + b^3 + c^3}{2} [/TEX]

Nếu đc thì chém dạng tổng quát hây ! he he he he !
p/s : Cấm dùng cách trên !

Ờ ) ta chơi Bunhiacopxki vậy (lớp 8 là học cái này rồi mà ) )
[TEX]VT=\sum\frac{a^6}{a^3+a^2b}\ge\frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a}\\a^2b+b^2c+c^2a\le a^3+b^3+c^3\\=>VT\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{2}[/tex]
hình như là thế ấy )

 

[thienlong_cuong]

Ờ ) ta chơi Bunhiacopxki vậy (lớp 8 là học cái này rồi mà ) )
[TEX]VT=\sum\frac{a^6}{a^3+a^2b}\ge\frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a}\\a^2b+b^2c+c^2a\le a^3+b^3+c^3\\=>VT\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{2}[/TEX]
hình như là thế ấy )

p/s : Cách này chắc áp dụng vào bìa linhhuyenvuong chắc là OK !h he he

Còn nữa anh em post lên đi
Cách của em nè !

[TEX]a^3 - \frac{a^4}{a +b} = a^3(1 - \frac{a}{a + b}) = \frac{a^3b}{a +b} \leq \frac{a^3b}{2\sqrt{ab}} = \frac{a^2\sqrt{ab}}{2}[/TEX]


Tương tự xây dựng các BDT như trên


[TEX]\Rightarrow \sum\frac{a^3b}{a +b} \leq \sum\frac{a^2\sqrt{ab}}{2}[/TEX] (*)

Giờ phải chứg minh

[TEX]\sum\frac{a^2\sqrt{ab}}{2} \leq \frac{a^3 + b^3 + c^3}{2}[/TEX] (*)(*)

Ta có :

[TEX]6a^2\sqrt{ab} \leq 5a^3 + b^3 [/TEX]


[TEX]\Rightarrow 6\sum\frac{a^2\sqrt{ab}}{2} \leq \sum \frac{5a^3 + b^3}{2} = \frac{6(a^3 + b^3 + c^3)}{2} [/TEX] \Rightarrow BĐT (*)(*) đúng !


Từ (*) và (*)(*)


[TEX]\Rightarrow - VT \leq -VP[/TEX]


[TEX]\Rightarrow VT \geq VP (dpcm)[/TEX]

 

[linhhuyenvuong]

ha ha ha ha ha ha h !
Cho 1 bài tổng quát 3 biến ! he he he
[TEX]\frac{a^k}{b +c} + \frac{b^k}{c +a} + \frac{c^k}{a +b} \geq \frac{a^{k -1} + b^{k -1} + c^{k -1}}{2}[/TEX]

oh my god ! Nesbit mở rộng !
Mới 3 biến thôi ! Chơi vs n biến thì tha hồ mà vui !

Lúc tối ta onl muộn nên chưa kịp đăng bài!
Sr! Bây giờ mới onl lại nên đăng muộn vậy!

Không mất tính chất tổng quát ta có:

[TEX]\left{\begin{a^{k-1} \leq b^{k-1} \leq c^{k-1}}\\{\frac{a}{b+c} \leq\frac{b}{c+a}\leq\frac{c}{a+b}} [/TEX]

Áp dung Trebusep:

[TEX]\frac{a^k}{b+c}+\frac{b^k}{c+a}+\frac{c^k}{a+b} \geq \frac{1}{3}(a^{k-1}+b^{k-1}+c^{k-1})(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq \frac{a^{k -1} + b^{k -1} + c^{k -1}}{2}[/TEX]
Do [TEX]\frac{a}{b+c}+\fra{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}[/TEX]