Toán BĐT Bunhia-BT tổng hợp

[lean0803]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a,b,c>0, a+b+c=1. Chứng minh [tex]\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\leq \frac{3}{4}[/tex]
Bài 2: Cho [tex]x\geq y\geq z> 0[/tex]. Chứng minh
[tex]\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}[/tex]
Bài 3: Cho x.y>0; [tex]x^{2}+y^{2}\leq x+y[/tex]. Chứng minh [tex]x+3y\leq 2+\sqrt{5}[/tex]
Bài 4: Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh
[tex]\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3[/tex]
Bài 5: Tìm GTNN và GTLN của A=[tex]x(99+\sqrt{101-x^{2}})[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài 1: Cho a,b,c>0, a+b+c=1. Chứng minh

Bài 2: Cho

. Chứng minh

Bài 3: Cho x.y>0;

. Chứng minh

Bài 4: Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh

Bài 5: Tìm GTNN và GTLN của A=

1.
$\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}
\\=\dfrac{a}{2a+b+c}+\dfrac{b}{a+2b+c}+\dfrac{c}{a+b+2c}
\\=-\dfrac{a+b+c}{2a+b+c}-\dfrac{a+b+c}{a+2b+c}-\dfrac{a+b+c}{a+b+2c}+3
\\=-(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c})+3
\\\leq -\dfrac{9}{4(a+b+c)}+3=\dfrac{-9}{4}+3=\dfrac{3}{4}$

 

[lean0803]

1.
$\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}
\\=\dfrac{a}{2a+b+c}+\dfrac{b}{a+2b+c}+\dfrac{c}{a+b+2c}
\\=-\dfrac{a+b+c}{2a+b+c}-\dfrac{a+b+c}{a+2b+c}-\dfrac{a+b+c}{a+b+2c}+3
\\=-(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c})+3
\\\leq -\dfrac{9}{4(a+b+c)}+3=\dfrac{-9}{4}+3=\dfrac{3}{4}$

Cảm ơn ạ, nhưng có thể giúp mình làm bài đấy bằng phương pháp Bunhia được không?

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 1: Cho a,b,c>0, a+b+c=1. Chứng minh [tex]\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\leq \frac{3}{4}[/tex]
Bài 2: Cho [tex]x\geq y\geq z> 0[/tex]. Chứng minh
[tex]\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}[/tex]
Bài 3: Cho x.y>0; [tex]x^{2}+y^{2}\leq x+y[/tex]. Chứng minh [tex]x+3y\leq 2+\sqrt{5}[/tex]
Bài 4: Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh
[tex]\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3[/tex]
Bài 5: Tìm GTNN và GTLN của A=[tex]x(99+\sqrt{101-x^{2}})[/tex]

Thôi thua :v Chả biết xài bunhia kiểu gì :v
Xài đẳng thức abel nhé =)) Em chịu khó hiểu :v
Bài 2:
$\dfrac{x^{2}y}{z}+\dfrac{y^{2}z}{x}+\dfrac{z^{2}x}{y}
\\=\dfrac{y}{z}(x^2-z^2)+(\dfrac{y}{z}+\dfrac{x}{y})(z^2-y^2)+(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})y^2
\\\geq \dfrac{z}{z}(x^2-z^2)+(\dfrac{z}{z}+\dfrac{y}{y})(z^2-y^2)+3\sqrt[3]{\dfrac{x.y.z}{y.z.x}}y^2
\\=x^2-z^2+2z^2-2y^2+3y^2
\\=x^2+y^2+z^2=VP$
Bài 3:
$x^2+\dfrac{3+\sqrt{5}}{10} \geq 2x\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{10}}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}x
\\y^2+\dfrac{7+3\sqrt{5}}{10} \geq2y\sqrt{\dfrac{7+3\sqrt{5}}{10}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}y$
Cộng vế theo vế với lưu ý:$x^2+y^2 \leq x+y$ sẽ có đpcm
Hướng dẫn bài 5:
$|A|=|x||\sqrt{99}.\sqrt{99}+1.\sqrt{101-x^2}|
\\\leq |x|\sqrt{(100(200-x^2))}
\\=10\sqrt{x^2(200-x^2)}$
Tới đây ok rồi :v

 

[matheverytime]

Bài 1: Cho a,b,c>0, a+b+c=1. Chứng minh [tex]\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\leq \frac{3}{4}[/tex]
Bài 2: Cho [tex]x\geq y\geq z> 0[/tex]. Chứng minh
[tex]\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}[/tex]
Bài 3: Cho x.y>0; [tex]x^{2}+y^{2}\leq x+y[/tex]. Chứng minh [tex]x+3y\leq 2+\sqrt{5}[/tex]
Bài 4: Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh
[tex]\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3[/tex]
Bài 5: Tìm GTNN và GTLN của A=[tex]x(99+\sqrt{101-x^{2}})[/tex]

 

[lean0803]

Đã xong bài 5 rồi ạ, bây giờ cần nhất bài 1, mong mọi người giúp đỡ.
P/s: Nếu ai có nhu cầu muốn xem bài 5 thì báo để mình post bài

 

[lean0803]

View attachment 17278

Em vẫn không hiểu dòng thứ 2, cái chỗ lớn hơn hoặc bằng ạ

 

[matheverytime]

Em vẫn không hiểu dòng thứ 2, cái chỗ lớn hơn hoặc bằng ạ

Cái đó là cô si hay ns rõ hơn là svac-so j đó

 

[lean0803]

Cái đó là cô si hay ns rõ hơn là svac-so j đó

Ý em là đoạn này
[tex]\frac{4b}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}+\frac{4a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{4c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\geq \frac{\begin{bmatrix} 2\begin{pmatrix} \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \end{pmatrix} \end{bmatrix}^{2}}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Ý em là đoạn này
[tex]\frac{4b}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}+\frac{4a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{4c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\geq \frac{\begin{bmatrix} 2\begin{pmatrix} \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \end{pmatrix} \end{bmatrix}^{2}}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}[/tex]

Với $b_1,b_2,...b_n>0$ ta có $\dfrac{{a_1}^2}{b_1}+\dfrac{{a_2}^2}{b_2}+...+\dfrac{{a_n}^2}{b_n}\geq \dfrac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$