Cho [imath]a,b,c>0[/imath] thỏa mãn [imath]\dfrac{a}{a+1} +\dfrac{b}{b+1} +\dfrac{c}{c+1} =2[/imath]. CMR [imath]ab+bc+ca \ge 12[/imath]
truong2008
[imath]\dfrac{a}{a+1}=1-\dfrac{b}{b+1}+1-\dfrac{c}{c+1}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{a}{a+1}=\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\ge \dfrac{2}{\sqrt{(b+1)(c+1)}}[/imath]
tương tự ta có: [imath]\dfrac{b}{b+1}\ge \dfrac{2}{\sqrt{(a+1)(c+1)}}, \dfrac{c}{c+1}\ge \dfrac{2}{\sqrt{(a+1)(b+1)}}[/imath]
Suy ra [imath]\dfrac{ab}{(a+1)(b+1)}\ge \dfrac{4}{(c+1)\sqrt{(a+1)(b+1)}}\Rightarrow ab\ge \dfrac{4\sqrt{(a+1)(b+1)}}{c+1}[/imath]
Suy ra [imath]VT\ge \dfrac{4\sqrt{(a+1)(b+1)}}{c+1}+\dfrac{4\sqrt{(b+1)(c+1)}}{a+1}+\dfrac{4\sqrt{(a+1)(c+1)}}{b+1}\ge 12[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]a=b=c=2[/imath]
Có gì khúc mắc em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
