Toán 9 Bất Đẳng Thức

[Lucyna]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a,b,c \in R$ thỏa mãn $abc=-1$. Chứng minh rằng:
$$a^4+b^4+c^4+3(a+b+c) \ge \dfrac{a^2+b^2}{c}+\dfrac{b^2+c^2}{a}+\dfrac{c^2+a^2}{b}$$
Em cảm ơn nhiều ạ :>>

 

[kido2006]

Ta viết lại bất đẳng thức dưới dạng thuần nhất như sau:
$a^4+b^4+c^4 -3abc(a+b+c) \ge -ab(a^2+b^2)-bc(b^2+c^2)-ca(c^2+a^2)$
Khi đó ta có thể lược bỏ đi điều kiện $abc=-1$ . Tức bất đẳng thức này đúng với mọi số thực $a,b,c$

Ta cần chứng minh $a^4+b^4+c^4 -3abc(a+b+c) \geq -\sum ab(a^2+b^2)=-(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)+abc(a+b+c)$
đúng với mọi số thực $a,b,c$
$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4 + (ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)\geq 4abc(a+b+c)$ (1)

Nếu $a+b+c=0$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng
Nếu $a+b+c \ne 0$
Khi đó thay bộ $(a,b,c)$ bởi $(-a,-b,-c)$ thì bất đẳng thức vẫn không đổi nên ta có thể giả sử $a+b+c>0$
Vì bất đẳng thức thuần nhất do đó ta có thể chuẩn hóa $a+b+c=3$
Đặt $(a,b)=(x+1,y+1)$ thì $c=-x-y+1$
Thay vào (1) rồi thu gọn ta được $27(x^2+xy+y^2) \ge 0$ (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a+b+c=0$


Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

 

[7 1 2 5]

Cho $a,b,c \in R$ thỏa mãn $abc=-1$. Chứng minh rằng:
$$a^4+b^4+c^4+3(a+b+c) \ge \dfrac{a^2+b^2}{c}+\dfrac{b^2+c^2}{a}+\dfrac{c^2+a^2}{b}$$
Em cảm ơn nhiều ạ :>>

inqlsĐồng bậc hóa bất đẳng thức ta được $a^4+b^4+c^4-3abc(a+b+c)+ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2) \geq 0$. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này đúng với mọi $a,b,c \in \mathbb{R}$
Đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$
Khi đó ta biến đổi như sau:
$a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=(p^2-2q)^2-2(q^2-2pr)$
$ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)=ab(a^2+b^2+c^2)+bc(a^2+b^2+c^2)+ca(a^2+b^2+c^2)-abc(a+b+c)=q(p^2-2q)-pr$
Từ đó BĐT cần chứng minh tương đương với $(p^2-2q)^2-2(q^2-2pr)-3pr+q(p^2-2q)-pr=p^4-3p^2q=p^2(p^2-3q) \geq 0$ (đpcm)

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức