Toán 9 Bất Đẳng Thức

[Lucyna]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [imath]a,b,c \in R[/imath] thỏa mãn [imath]abc=-1[/imath]. Chứng minh rằng:
[math]a^4+b^4+c^4+3(a+b+c) \ge \dfrac{a^2+b^2}{c}+\dfrac{b^2+c^2}{a}+\dfrac{c^2+a^2}{b}[/math]
Em cảm ơn nhiều ạ :>>

 

[kido2006]

Ta viết lại bất đẳng thức dưới dạng thuần nhất như sau:
[imath]a^4+b^4+c^4 -3abc(a+b+c) \ge -ab(a^2+b^2)-bc(b^2+c^2)-ca(c^2+a^2)[/imath]
Khi đó ta có thể lược bỏ đi điều kiện [imath]abc=-1[/imath] . Tức bất đẳng thức này đúng với mọi số thực [imath]a,b,c[/imath]

Ta cần chứng minh [imath]a^4+b^4+c^4 -3abc(a+b+c) \geq -\sum ab(a^2+b^2)=-(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)+abc(a+b+c)[/imath]
đúng với mọi số thực [imath]a,b,c[/imath]
[imath]\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4 + (ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)\geq 4abc(a+b+c)[/imath] (1)

Nếu [imath]a+b+c=0[/imath] thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng
Nếu [imath]a+b+c \ne 0[/imath]
Khi đó thay bộ [imath](a,b,c)[/imath] bởi [imath](-a,-b,-c)[/imath] thì bất đẳng thức vẫn không đổi nên ta có thể giả sử [imath]a+b+c>0[/imath]
Vì bất đẳng thức thuần nhất do đó ta có thể chuẩn hóa [imath]a+b+c=3[/imath]
Đặt [imath](a,b)=(x+1,y+1)[/imath] thì [imath]c=-x-y+1[/imath]
Thay vào (1) rồi thu gọn ta được [imath]27(x^2+xy+y^2) \ge 0[/imath] (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi [imath]a=b=c[/imath] hoặc [imath]a+b+c=0[/imath]


Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

 

[7 1 2 5]

Cho [imath]a,b,c \in R[/imath] thỏa mãn [imath]abc=-1[/imath]. Chứng minh rằng:
[math]a^4+b^4+c^4+3(a+b+c) \ge \dfrac{a^2+b^2}{c}+\dfrac{b^2+c^2}{a}+\dfrac{c^2+a^2}{b}[/math]
Em cảm ơn nhiều ạ :>>

inqlsĐồng bậc hóa bất đẳng thức ta được [imath]a^4+b^4+c^4-3abc(a+b+c)+ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2) \geq 0[/imath]. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này đúng với mọi [imath]a,b,c \in \mathbb{R}[/imath]
Đặt [imath]p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc[/imath]
Khi đó ta biến đổi như sau:
[imath]a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=(p^2-2q)^2-2(q^2-2pr)[/imath]
[imath]ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)=ab(a^2+b^2+c^2)+bc(a^2+b^2+c^2)+ca(a^2+b^2+c^2)-abc(a+b+c)=q(p^2-2q)-pr[/imath]
Từ đó BĐT cần chứng minh tương đương với [imath](p^2-2q)^2-2(q^2-2pr)-3pr+q(p^2-2q)-pr=p^4-3p^2q=p^2(p^2-3q) \geq 0[/imath] (đpcm)

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức