Toán 9 Bất đẳng thức

[Cheems]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c không âm thỏa mãn abc+a+b+c = 4
CMR a+b+c >= ab+bc+ca

 

[7 1 2 5]

Đặt $a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r$ thì ta có $p+r=4$ và cần chứng minh $p \geq q$
Áp dụng BĐT Schur bậc $3$ ta có: $r \geq \max \lbrace{0,\dfrac{p(4q-p^2)}{9} \rbrace }$
Xét các trường hợp:
+ $p^2 \geq 4q$
Khi đó ta có $r \geq 0 \Rightarrow p \leq 4 \Rightarrow 4q \leq p^2 \leq 16 \Rightarrow q \leq 4$
$\Rightarrow p^2 \geq 4q \geq q^2 \Rightarrow p \geq q$.
+ $p^2 \leq 4q$
Khi đó $r \geq \dfrac{p(4q-p^2)}{9} \Rightarrow 4=p+r \geq p+\dfrac{p(4q-p^2)}{9}$
$\Rightarrow \dfrac{4}{p} \geq 1+\dfrac{4q-p^2}{9}=\dfrac{4q-p^2+9}{9}$
$\Rightarrow \dfrac{36}{p} \geq 4q-p^2+9 \Rightarrow 4q \leq p^2+\dfrac{36}{p}-9$
Ta sẽ chứng minh $p^2+\dfrac{36}{p}-9 \leq 4p \Leftrightarrow (p-1)(p-3)+\dfrac{36}{p}-12 \leq 0$
$\Leftrightarrow (p-1)(p-3)+\dfrac{12(3-p)}{p} \leq 0$
$\Leftrightarrow (p-3)(p-1-\dfrac{12}{p}) \leq 0$(1)
Ta có $r>0 \Rightarrow p<4$
Từ đó $p-1-\dfrac{12}{p}<p-4+3-\dfrac{12}{p}=p-4+\dfrac{3(p-4)}{p}=(p-4)(1+\dfrac{3}{p})<0$
$4=p+r =p+abc \leq p+(\dfrac{a+b+c}{3})^3=p+\dfrac{p^3}{27} \Rightarrow p \geq 3$
Suy ra (1) đúng, tức $4q \leq p^2+\dfrac{36}{p}-9 \leq 4p$ hay $p \geq q$.
Dấu "=" xảy ra tại $(a,b,c)=(1,1,1)$ hoặc $(2,2,0)$ và các hoán vị.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha

[Chuyên đề HSG] Bất đẳng thức Schur và kỹ thuật đổi biến $p,q,r$ cho bất đẳng thức đối xứng 3 biến​

 

[Cheems]

Đặt $a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r$ thì ta có $p+r=4$ và cần chứng minh $p \geq q$
Áp dụng BĐT Schur bậc $3$ ta có: $r \geq \max \lbrace{0,\dfrac{p(4q-p^2)}{9} \rbrace }$
Xét các trường hợp:
+ $p^2 \geq 4q$
Khi đó ta có $r \geq 0 \Rightarrow p \leq 4 \Rightarrow 4q \leq p^2 \leq 16 \Rightarrow q \leq 4$
$\Rightarrow p^2 \geq 4q \geq q^2 \Rightarrow p \geq q$.
+ $p^2 \leq 4q$
Khi đó $r \geq \dfrac{p(4q-p^2)}{9} \Rightarrow 4=p+r \geq p+\dfrac{p(4q-p^2)}{9}$
$\Rightarrow \dfrac{4}{p} \geq 1+\dfrac{4q-p^2}{9}=\dfrac{4q-p^2+9}{9}$
$\Rightarrow \dfrac{36}{p} \geq 4q-p^2+9 \Rightarrow 4q \leq p^2+\dfrac{36}{p}-9$
Ta sẽ chứng minh $p^2+\dfrac{36}{p}-9 \leq 4p \Leftrightarrow (p-1)(p-3)+\dfrac{36}{p}-12 \leq 0$
$\Leftrightarrow (p-1)(p-3)+\dfrac{12(3-p)}{p} \leq 0$
$\Leftrightarrow (p-3)(p-1-\dfrac{12}{p}) \leq 0$(1)
Ta có $r>0 \Rightarrow p<4$
Từ đó $p-1-\dfrac{12}{p}<p-4+3-\dfrac{12}{p}=p-4+\dfrac{3(p-4)}{p}=(p-4)(1+\dfrac{3}{p})<0$
$4=p+r =p+abc \leq p+(\dfrac{a+b+c}{3})^3=p+\dfrac{p^3}{27} \Rightarrow p \geq 3$
Suy ra (1) đúng, tức $4q \leq p^2+\dfrac{36}{p}-9 \leq 4p$ hay $p \geq q$.
Dấu "=" xảy ra tại $(a,b,c)=(1,1,1)$ hoặc $(2,2,0)$ và các hoán vị.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha

[Chuyên đề HSG] Bất đẳng thức Schur và kỹ thuật đổi biến $p,q,r$ cho bất đẳng thức đối xứng 3 biến​

7 1 2 5Tại sao r >= p(4q-p^2)/9 a ?

 

[7 1 2 5]

Tại sao r >= p(4q-p^2)/9 a ?

CheemsĐó là BĐT Schur bậc 3 nhé. Bạn có thể tham khảo link ở trên mình có dẫn nhé.

 

[kido2006]

Mình xin góp thêm 1 cách khác :vv

TH1: Tồn tại 1 số bằng 0 ,giả sử $c=0$
Khi đó bài toán trở thành cho $a+b=4$ . Chứng minh $a+b \ge ab$
Thật vậy điều đó $\Leftrightarrow (a+b)^2 \ge 4ab$ (đúng)

TH2: Cả ba số đều $>0$
Giả sử tồn tại $x,y,z$ dương thỏa mãn $x+y+z<xy+yz+zx$ với điều kiện không đổi
Ta sẽ chỉ ra điều giả sử là sai
Thật vậy , đặt $x+y+z=p$ ; $xy+yz+zx=q$ ; $xyz=r$
Khi đó ta có $p+r=4$ và $p<q$
$\Rightarrow (q-p)(rq^2+pqr+rp^2+pq^2) > 0$
$\Leftrightarrow q^3(p+r) > p^2q^2+rp^3$
$\Leftrightarrow 4> \dfrac{p^2}{q}+\dfrac{rp^3}{q^3}$

Mặt khác ta có $\dfrac{p^3}{q^3}\geq \dfrac{9}{pq}\Leftrightarrow p^2\geq 3q$
Do đó $4> \dfrac{p^2}{q}+\dfrac{rp^3}{q^3}\geq \dfrac{p^2}{q}+\dfrac{9r}{pq}\Leftrightarrow 4pq > p^3+9r$
Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức Schur
Do đó điều giả sử là sai hay không tồn tại bộ x,y,z thỏa mãn
$\Rightarrow$ đpcm

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Chuyên đề HSG] Bất đẳng thức Schur và kỹ thuật đổi biến p,q,rp,q,r cho bất đẳng thức đối xứng 3 biến

 

[7 1 2 5]

Một cách khác cũng sử dụng BĐT Schur nhưng không phải đổi biến $p,q,r$!
Vì $abc+ab+bc+ca=4$ nên tồn tại các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $a=\dfrac{2x}{y+z},b=\dfrac{2y}{z+x},c=\dfrac{2z}{x+y}$
Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với $\dfrac{2x}{y+z}+\dfrac{2y}{x+z}+\dfrac{2z}{x+y} \geq \dfrac{4xy}{(z+x)(z+y)}+\dfrac{4yz}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{4zx}{(y+x)(y+z)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x(x+y)(x+z)+y(y+z)(y+x)+z(z+x)(z+y)}{(x+y)(y+z)(z+x)} \geq \dfrac{2xy(x+y)+2yz(z+y)+2zx(x+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$
$\Leftrightarrow x(x+y)(x+z)+y(y+z)(y+x) \geq 2xy(x+y)+2yz(y+z)+2zx(z+x)=2[x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)]$
$\Leftrightarrow x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y) \geq 0$ (ở đây để biến đổi nhanh ta để ý $(x+y)(x+z)=(x-y)(x-z)+2x(y+z)$)
Mà BĐT hiển nhiên đúng do BĐT Schur bậc $3$ nên ta có đpcm.

 

[Cheems]

Một cách khác cũng sử dụng BĐT Schur nhưng không phải đổi biến $p,q,r$!
Vì $abc+ab+bc+ca=4$ nên tồn tại các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $a=\dfrac{2x}{y+z},b=\dfrac{2y}{z+x},c=\dfrac{2z}{x+y}$
Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với $\dfrac{2x}{y+z}+\dfrac{2y}{x+z}+\dfrac{2z}{x+y} \geq \dfrac{4xy}{(z+x)(z+y)}+\dfrac{4yz}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{4zx}{(y+x)(y+z)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x(x+y)(x+z)+y(y+z)(y+x)+z(z+x)(z+y)}{(x+y)(y+z)(z+x)} \geq \dfrac{2xy(x+y)+2yz(z+y)+2zx(x+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$
$\Leftrightarrow x(x+y)(x+z)+y(y+z)(y+x) \geq 2xy(x+y)+2yz(y+z)+2zx(z+x)=2[x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)]$
$\Leftrightarrow x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y) \geq 0$ (ở đây để biến đổi nhanh ta để ý $(x+y)(x+z)=(x-y)(x-z)+2x(y+z)$)
Mà BĐT hiển nhiên đúng do BĐT Schur bậc $3$ nên ta có đpcm.

7 1 2 5Nhưng dự kiện đề bài là abc + a + b + c = 4 ạ

 

[7 1 2 5]

Nhưng dự kiện đề bài là abc + a + b + c = 4 ạ

CheemsÀ vậy mình nhìn nhầm nhé :')) Cách này cũng sai luôn rồi.