Toán 9 BẤT ĐẲNG THỨC

[Edgarnguyen248]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn [math](x +y)^2 + 2z^2 \geq 2[/math]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = [math]5(x^2 + y^2 + z^2) - (x + y + \sqrt{2}z)^2 - \sqrt{\frac{(x+y)^2}{2}+z^2}[/math]

 

[7 1 2 5]

Ta có: [imath]x^2+y^2 \geq \dfrac{1}{2}(x+y)^2[/imath]
[imath](x+y+\sqrt{2}z)^2 \leq 2[(x+y)^2+2z^2][/imath]
[imath]\Rightarrow P \geq \dfrac{5}{2}(x+y)^2+5z^2-2[(x+y)^2+2z^2]-\sqrt{\dfrac{(x+y)^2+2z^2}{2}}[/imath]
[imath]=\dfrac{1}{2}[(x+y)^2+2z^2]-\sqrt{\dfrac{(x+y)^2+2z^2}{2}}[/imath]
Đặt [imath]t=\sqrt{\dfrac{(x+y)^2+2z^2}{2}}[/imath] thì [imath]t \geq 1[/imath]
Khi đó [imath]P \geq t^2-t \geq 0[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]\begin{cases} (x+y)^2+2z^2=2 \\ x=y \\ x+y=\sqrt{2}z \end{cases} \Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2},z=\dfrac{1}{\sqrt{2}}[/imath]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức