Ý tưởng của chúng ta khi gặp dạng này là cố gắng sử dụng BĐT Cauchy để khử hết hệ số của [imath]a[/imath] và [imath]a[/imath] nằm trong mẫu số.
Ví dụ với bài trên, để khử hết mẫu số thì ta sẽ chọn [imath]a[/imath] và [imath]a+1[/imath].
Vì có [imath](a+1)^3[/imath] nên ta sẽ Cauchy cho 5 số: [imath]ka+l(a+1)+l(a+1)+l(a+1)+\dfrac{54}{a(a+1)^3} \geq 5\sqrt[5]{54kl^3}[/imath]
Ở đây ta sẽ cố gắng khử hết hệ số của [imath]a[/imath] nên [imath]k+3l=\dfrac{3}{2}[/imath]
Điểm rơi của BĐT trên là [imath]ka=l(a+1)=\dfrac{54}{a(a+1)^3}[/imath]
Từ [imath]ka=l(a+1)[/imath] ta được [imath]\dfrac{a+1}{a}=\dfrac{k}{l}=\dfrac{\dfrac{3}{2}-3l}{l}[/imath]
[imath]\Rightarrow 1+\dfrac{1}{a}=\dfrac{3-6l}{2l}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{1}{a}=\dfrac{3-8l}{2l}[/imath]
[imath]\Rightarrow a=\dfrac{2l}{3-8l}[/imath]
Sau đó thay vào [imath]l(a+1)=\dfrac{54}{a(a+1)^3}[/imath] rồi bấm máy tính tìm [imath]l[/imath], sau đó suy ra lại [imath]k[/imath] và [imath]a[/imath].
Ta phải tìm được [imath]k,l,a>0[/imath] nhé.
Trong trường hợp [imath]a[/imath] không thỏa mãn điều kiện đề bài (ở đây là điều kiện [imath]a\geq 1[/imath]) thì ta phải chọn [imath]k,l[/imath] sao cho điểm rơi của bất đẳng thức là [imath]a=1[/imath] luôn (tức là 2 điểm đầu hoặc cuối của điều kiên của [imath]a[/imath])
Thực ra chúng ta không cần máy móc là dùng hệ số bất định kiểu này nhé, có thể nếu điểm rơi đẹp thì nhẩm nhanh hơn nhé.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
