Toán 9 Bất đẳng thức

[Windeee]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực dương:
[tex]\sqrt{a^3b+a^3c}+\sqrt{b^3a+b^3c}+\sqrt{c^3b+c^3a}\geq \frac{4}{3}(ab+bc+ca)[/tex]

Em cảm ơn ạ.

 

[7 1 2 5]

Ta sẽ đi chứng minh [TEX]\sqrt{2a^3b+2a^3c}+\sqrt{2b^3a+2b^3c}+\sqrt{2c^3b+2c^3a}\geq 2(ab+bc+ca)[/TEX]
Ta có: [TEX]\sqrt{2a^3b+2a^3c}=\frac{2a^2(b+c)}{\sqrt{2a(b+c)}} \geq \frac{2a^2(b+c)}{\frac{2a+b+c}{2}}=\frac{4a^2(b+c)}{2a+b+c}[/TEX]
Ta cần chứng minh [TEX]\displaystyle \sum \frac{2a^2(b+c)}{2a+b+c} \geq ab+bc+ca \Leftrightarrow \displaystyle \sum [2a^2-\frac{2a^2(b+c)}{2a+b+c}] \leq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca) \Leftrightarrow \displaystyle \sum \frac{4a^3}{2a+b+c} \leq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)[/TEX]
Vì [TEX]\frac{4a^3}{2a+b+c} \leq a^3(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})[/TEX] nên [TEX]\displaystyle \sum \frac{4a^3}{2a+b+c} \leq \frac{a^3+b^3}{a+b}+\frac{b^3+c^3}{b+c}+\frac{c^3+a^3}{c+a}=2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)[/TEX]

Nếu có gì thắc mắc bạn có thể hỏi tại đây, chúng mình luôn sẵn sàng giúp đỡ.
Bạn có thể tham khảo thêm các kiến thức môn học khác tại đây.