Toán 9 Bất đẳng thức

[Lena1315]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex] [/tex]. Chứng minh rằng [tex]\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}[/tex] [tex]\geq 3[/tex]

Em đang thử dùng ghép đối xứng mà không được ạ

 

[7 1 2 5]

Cho [tex] [/tex]. Chứng minh rằng [tex]\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}[/tex] [tex]\geq 3[/tex]

Em đang thử dùng ghép đối xứng mà không được ạ

Cho giả thiết gì vậy bạn??

 

[Lena1315]

Cho giả thiết gì vậy bạn??

a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Chắc hqua mình lỡ tay xóa, sr bạn

 

[ankhongu]

a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Chắc hqua mình lỡ tay xóa, sr bạn

Thử U.C.T đi bạn

 

[Lena1315]

[tex]\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}[/tex] [tex]\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(c+ab)(a+bc)(b+ca)}}[/tex]
Mặt khác:
+) [tex](a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2 \leq \left(\frac{a+b+c+3}{3}\right)^6=64[/tex]
+) [tex]4(c+ab)(a+bc) \leq (c+ab+a+bc)^2=(b+1)^2(a+c)^2[/tex]
[tex]\Rightarrow 64(c+ab)^2(a+bc)^2(b+ca)^2 \leq (a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2[/tex]
[tex]\Rightarrow (c+ab)(b+ca)(a+bc) \leq (a+b)(b+c)(c+a)[/tex]
[tex]\Rightarrow \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}=3[/tex]
Dấu bằng <=> a=b=c=1

Bây giờ mình mới nghĩ ra, vẫn là sử dụng ghép đối xứng, mình sẽ thử U.C.T sau ^^
(Bài này mình lấy trong quyển Sử dụng AM-Gm để cm bđt của thầy Cẩn và thầy Quốc Anh, phần ghép đối xứng)

 

[ankhongu]

[tex]\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}[/tex] [tex]\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(c+ab)(a+bc)(b+ca)}}[/tex]
Mặt khác:
+) [tex](a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2 \leq \left(\frac{a+b+c+3}{3}\right)^6=64[/tex]
+) [tex]4(c+ab)(a+bc) \leq (c+ab+a+bc)^2=(b+1)^2(a+c)^2[/tex]
[tex]\Rightarrow 64(c+ab)^2(a+bc)^2(b+ca)^2 \leq (a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2[/tex]
[tex]\Rightarrow (c+ab)(b+ca)(a+bc) \leq (a+b)(b+c)(c+a)[/tex]
[tex]\Rightarrow \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}=3[/tex]
Dấu bằng <=> a=b=c=1

Bây giờ mình mới nghĩ ra, vẫn là sử dụng ghép đối xứng, mình sẽ thử U.C.T sau ^^
(Bài này mình lấy trong quyển Sử dụng AM-Gm để cm bđt của thầy Cẩn và thầy Quốc Anh, phần ghép đối xứng)

Theo mình nhớ không nhầm, bạn sẽ có lời giải thứ 2 nếu biết điểu này :
[tex](a + bc)(b + ca) + (b + ca)(c + ab) + (c + ab)(a + bc) = 4(ab + bc + ca)[/tex] với mọi a, b, c tm a + b + c = 3 ^^