Toán 9 Bất đẳng thức

[Củ Ấu Gai]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số thực không âm [tex]x,y,z[/tex] với [tex]x+y+z=6[/tex] . Tìm giá trị nhỏ nhất:
[tex]M=\sqrt{x^2+16}+\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+16}[/tex]

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

Cho 3 số thực không âm [tex]x,y,z[/tex] với [tex]x+y+z=6[/tex] . Tìm giá trị nhỏ nhất:
[tex]M=\sqrt{x^2+16}+\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+16}[/tex]

Áp dụng BĐT Mincopxki ta có:
[tex]M=\sqrt{x^2+16}+\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+16}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+(4+4+4)^2}=\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> x = y= z = 2

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

Áp dụng BĐT Mincopxki ta có:
[tex]M=\sqrt{x^2+16}+\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+16}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+(4+4+4)^2}=\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> x = y= z = 2

Bất đẳng thức Mincopxki là j thế ạ ?

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

Bất đẳng thức Mincopxki là j thế ạ ?

Đại loại là như này
[tex]\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{e^2+f^2}\geq \sqrt{(a+c+e)^2+(b+d+f)^2}[/tex]
Cách chứng minh bạn có thể tham khảo thêm ở gg

 

[Củ Ấu Gai]

Áp dụng BĐT Mincopxki ta có:
[tex]M=\sqrt{x^2+16}+\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+16}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+(4+4+4)^2}=\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> x = y= z = 2

Mình nhầm giá trị lớn nhất! Xin lỗi bạn nha, giải hộ mình nhé!
Cho 3 số thực không âm [tex]x,y,z[/tex] với [tex]x+y+z=6[/tex] . Tìm giá trị lớn nhất:
[tex]M=\sqrt{x^2+16}+\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+16}[/tex]

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

Mình nhầm giá trị lớn nhất! Xin lỗi bạn nha, giải hộ mình nhé!
Cho 3 số thực không âm [tex]x,y,z[/tex] với [tex]x+y+z=6[/tex] . Tìm giá trị lớn nhất:
[tex]M=\sqrt{x^2+16}+\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+16}[/tex]

Xin lỗi bạn, mình tìm được min thôi, chưa biết tìm max

 

[nhatminh1472005]

Mình nhầm giá trị lớn nhất! Xin lỗi bạn nha, giải hộ mình nhé!
Cho 3 số thực không âm [tex]x,y,z[/tex] với [tex]x+y+z=6[/tex] . Tìm giá trị lớn nhất:
[tex]M=\sqrt{x^2+16}+\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+16}[/tex]

Bạn hãy chứng minh giúp mình rằng [tex]\sqrt{x^2+16}\leq \frac{\sqrt{13}-2}{3}.x+4[/tex] bằng biến đổi tương đương nhé!
Sau đó chứng minh tương tự với y và z sau đó cộng lại là đc

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

Bạn hãy chứng minh giúp mình rằng [tex]\sqrt{x^2+16}\leq \frac{\sqrt{13}-2}{3}.x+4[/tex] bằng biến đổi tương đương nhé!
Sau đó chứng minh tương tự với y và z sau đó cộng lại là đc

sao bạn lại tìm ra được điều trên vậy? ý mình là [tex]\sqrt{x^2+16}\leq \frac{\sqrt{13}-2}{3}x+4[/tex]?

 

[nhatminh1472005]

sao bạn lại tìm ra được điều trên vậy? ý mình là [tex]\sqrt{x^2+16}\leq \frac{\sqrt{13}-2}{3}x+4[/tex]?

Bạn đoán đc là dấu bằng xảy ra khi 1 số = 6, 2 số còn lại = 0 đúng ko?
Vậy thì bạn giả sử [tex]\sqrt{x^2+16}=kx+m[/tex] với k và m là số thực nào đó.
Lần lượt thay x = 0 và x = 6 vào thì được[tex]k=\frac{\sqrt{13}-2}{3},m=4[/tex].
Xong rồi thay vào và biến đổi tương đương thôi!

 

[Quân (Chắc Chắn Thế)]

Bạn đoán đc là dấu bằng xảy ra khi 1 số = 6, 2 số còn lại = 0 đúng ko?
Vậy thì bạn giả sử [tex]\sqrt{x^2+16}=kx+m[/tex] với k và m là số thực nào đó.
Lần lượt thay x = 0 và x = 6 vào thì được[tex]k=\frac{\sqrt{13}-2}{3},m=4[/tex].
Xong rồi thay vào và biến đổi tương đương thôi!

Tưởng dấu bằng xảy ra khi x=y=z=2

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

Tưởng dấu bằng xảy ra khi x=y=z=2

x = y = z = 2 là min mà bạn, bạn ấy đang tìm max

 

[nhatminh1472005]

x = y = z = 2 là min mà bạn, bạn ấy đang tìm max

Cái này áp dụng với đa số các bất đẳng thức đối xứng mà có điểm rơi đạt tại biên nhé!
Ví dụ trong trường hợp này ta có [tex]0\leq x,y,z\leq 6[/tex] nên biên là 0 và 6

 

[Kaito Kidㅤ]

Mình nhầm giá trị lớn nhất! Xin lỗi bạn nha, giải hộ mình nhé!
Cho 3 số thực không âm [tex]x,y,z[/tex] với [tex]x+y+z=6[/tex] . Tìm giá trị lớn nhất:
[tex]M=\sqrt{x^2+16}+\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+16}[/tex]

Không mất tính tổng quát giả sử [tex]x\leq y\leq z[/tex] Do x;y;z ko âm nên [tex]x^2\leq y^2\leq z^2[/tex]
Ta có: [tex]\sum x=6\geq 3x\rightarrow x\leq 2[/tex]
[tex]M=\sum \sqrt{x^2+16}\leq 3\sqrt{x^2+16}\leq 3\sqrt{2^2+16}=12\sqrt{5}[/tex]
[tex]"="\Leftrightarrow x=y=z=2[/tex]

EDIT: mình làm nhầm @@n cái này chỉ tìm dc min thôi

 

[nhatminh1472005]

Không mất tính tổng quát giả sử [tex]x\leq y\leq z[/tex] Do x;y;z ko âm nên [tex]x^2\leq y^2\leq z^2[/tex]
Ta có: [tex]\sum x=6\geq 3x\rightarrow x\leq 2[/tex]
[tex]M=\sum \sqrt{x^2+16}\leq 3\sqrt{x^2+16}\leq 3\sqrt{2^2+16}=12\sqrt{5}[/tex]
[tex]"="\Leftrightarrow x=y=z=2[/tex]

Ngược dấu rồi bạn, bạn đặt [tex]x\leq y\leq z[/tex] thì không thể có [tex]M=\sum \sqrt{x^2+16}\leq 3\sqrt{x^2+16}[/tex] nhé!

 

[Củ Ấu Gai]

Bạn đoán đc là dấu bằng xảy ra khi 1 số = 6, 2 số còn lại = 0 đúng ko?
Vậy thì bạn giả sử [tex]\sqrt{x^2+16}=kx+m[/tex] với k và m là số thực nào đó.
Lần lượt thay x = 0 và x = 6 vào thì được[tex]k=\frac{\sqrt{13}-2}{3},m=4[/tex].
Xong rồi thay vào và biến đổi tương đương thôi!

Cảm ơn bạn nhiều! Nhưng bạn ơi, biến đổi tương đương xong kết quả không được như ý muốn bạn ạ, xem lại giúp mình nhé!!!

 

[nhatminh1472005]

Cảm ơn bạn nhiều! Nhưng bạn ơi, biến đổi tương đương xong kết quả không được như ý muốn bạn ạ, xem lại giúp mình nhé!!!

Bạn biến đổi như thế nào?

 

[Củ Ấu Gai]

Bạn biến đổi như thế nào?

Bất đẳng thức tương đương với:
[tex]\sqrt{x^2+16}\leq \frac{\sqrt{13}-2}{3}.x+4[/tex]
[tex]=> x^2+16 \leq \frac{17-4 \sqrt{13}}{9}.x^2+\frac{-16+8\sqrt{13}}{3}.x+16[/tex]
[tex]<=> \frac{8-4\sqrt{13}}{9}.x^2+\frac{-16+8\sqrt{13}}{3}.x \geq 0[/tex]
[tex]<=> \frac{8-4\sqrt{13}}{9}.x^2 - \frac{6.(8-4\sqrt{13})}{9}.x \geq 0[/tex]
[tex]<=> \frac{8-4\sqrt{13}}{9}.x.(x-6) \geq 0[/tex]
Ý bạn là đến đây bất đẳng thức luôn đúng, đúng không? (ok rồi, cảm ơn bạn nhiều)

 

[nhatminh1472005]

Bất đẳng thức tương đương với:
[tex]\sqrt{x^2+16}\leq \frac{\sqrt{13}-2}{3}.x+4[/tex]
[tex]=> x^2+16 \leq \frac{17-4 \sqrt{13}}{9}.x^2+\frac{-16+8\sqrt{13}}{3}.x+16[/tex]
[tex]<=> \frac{8-4\sqrt{13}}{9}.x^2+\frac{-16+8\sqrt{13}}{3}.x \geq 0[/tex]
[tex]<=> \frac{8-4\sqrt{13}}{9}.x^2 - \frac{6.(8-4\sqrt{13})}{9}.x \geq 0[/tex]
[tex]<=> \frac{8-4\sqrt{13}}{9}.x.(x-6) \geq 0[/tex]
Ý bạn là đến đây bất đẳng thức luôn đúng, đúng không? (ok rồi, cảm ơn bạn nhiều)

Tức là bạn biến đổi được rồi chứ gì?