Toán bất đẳng thức

[Aya shameimaru]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh với x>-2 thì P= [tex]\frac{x^2+4x+8}{x+2}[/tex] [tex]\geq 4[/tex]

 

[chi254]

chứng minh với x>-2 thì P= [tex]\frac{x^2+4x+8}{x+2}[/tex] [tex]\geq 4[/tex]

Do $x > - 2$ nên $x + 2 > 0$
Ta có : $x^2 \geq 0\\
x^2 + 4x + 8 \geq 4x + 8 \\
\dfrac{x^2 + 4x + 8}{x + 2} \geq \dfrac{4x + 8}{x + 2} \\
P \geq 4$
Dấu ''='' xảy ra tại $x = 0$

 

[matheverytime]

chứng minh với x>-2 thì P= [tex]\frac{x^2+4x+8}{x+2}[/tex] [tex]\geq 4[/tex]

 

[kingsman(lht 2k2)]

chứng minh với x>-2 thì P= [tex]\frac{x^2+4x+8}{x+2}[/tex] [tex]\geq 4[/tex]

[tex]\frac{x^{2}+4x+8}{x+2}=4\Leftrightarrow x^{2}+4x+8\geq 4x+8\Leftrightarrow x^{2}\geq 0[/tex]
đúng (với mọi x thuộc R )
vậy ....bdt đã cho đúng

 

[Quân Nguyễn 209]

chứng minh với x>-2 thì P= [tex]\frac{x^2+4x+8}{x+2}[/tex] [tex]\geq 4[/tex]

Ta có [TEX]P=4+\frac{x^2}{x-2} [/TEX]
mà [TEX]x-2>0[/TEX] [TEX]=>[/TEX][TEX] \frac{x^2}{x-2} \geq 0[/TEX]
Vậy [TEX] P \geq 4+0 = 4[/TEX]
Dấu = xảy ra khi [TEX]x=0[/TEX]

 

[Aya shameimaru]

tiếp tục câu này với
cho a+b+c=1. Chứng minh
[tex]a^4+b^4+c^4[/tex] [tex]\geq abc[/tex]

 

[Quân Nguyễn 209]

tiếp tục câu này với
cho a+b+c=1. Chứng minh
[tex]a^4+b^4+c^4[/tex] [tex]\geq abc[/tex]

Áp dụng [TEX]Cauchy[/TEX]
[TEX]a^4 + b^4 \geq 2a^2b^2 [/TEX]
[TEX]b^4 + c^4 \geq 2b^2c^2 [/TEX]
[TEX]a^4 + c^4 \geq 2a^2c^2 [/TEX]
Cộng vế theo vế ta có:
[TEX]=> 2a^4 + 2b^4 + 2c^4 \geq 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2) [/TEX]
[TEX]<=> a^4 + b^4 + c^4 \geq a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 [/TEX](1)
Áp dụng [TEX]Cauchy[/TEX] lần nữa
[TEX]a^2b^2 + b^2c^2 = b^2 (a^2 +c^2) \geq b^2(2ac) [/TEX]
[TEX]b^2c^2 + a^2c^2 = c^2 (b^2 + a^2) \geq c^2(2ba) [/TEX]
[TEX]a^2b^2 + a^2c^2 = a^2 (b^2 + c^2) \geq a^2(2bc) [/TEX]
Cộng vế theo vế ta có
[TEX]=> 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2) \geq 2[b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc)] [/TEX]
[TEX]<=> a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 \geq b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc) [/TEX]
[TEX]<=> ......................................\geq abc ( b + c + a) [/TEX](2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
P/s: cách mih dài nhỉ :3 bạn nên làm cách của @matheverytime
Nhưng bạn nhớ chứng minh mấy bất đẳng thức phụ trc khi áp dụng nhé :v @Aya shameimaru
[TEX]Cauchy[/TEX] thì khỏi cần cm lại :v

 

[matheverytime]

tiếp tục câu này với
cho a+b+c=1. Chứng minh
[tex]a^4+b^4+c^4[/tex] [tex]\geq abc[/tex]

 

[Aya shameimaru]

Áp dụng [TEX]Cauchy[/TEX]
[TEX]a^4 + b^4 \geq 2a^2b^2 [/TEX]
[TEX]b^4 + c^4 \geq 2b^2c^2 [/TEX]
[TEX]a^4 + c^4 \geq 2a^2c^2 [/TEX]
Cộng vế theo vế ta có:
[TEX]=> 2a^4 + 2b^4 + 2c^4 \geq 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2) [/TEX]
[TEX]<=> a^4 + b^4 + c^4 \geq a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 [/TEX](1)
Áp dụng [TEX]Cauchy[/TEX] lần nữa
[TEX]a^2b^2 + b^2c^2 = b^2 (a^2 +c^2) \geq b^2(2ac) [/TEX]
[TEX]b^2c^2 + a^2c^2 = c^2 (b^2 + a^2) \geq c^2(2ba) [/TEX]
[TEX]a^2b^2 + a^2c^2 = a^2 (b^2 + c^2) \geq a^2(2bc) [/TEX]
Cộng vế theo vế ta có
[TEX]=> 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2) \geq 2[b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc)] [/TEX]
[TEX]<=> a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 \geq b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc) [/TEX]
[TEX]<=> ......................................\geq abc ( b + c + a) [/TEX](2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
P/s: cách mih dài nhỉ :3 bạn nên làm cách của @matheverytime
Nhưng bạn nhớ chứng minh mấy bất đẳng thức phụ trc khi áp dụng nhé :v @Aya shameimaru
[TEX]Cauchy[/TEX] thì khỏi cần cm lại :v

mình chưa học về bất đẳng thức cauchy, mới học trc chứ chưa học đến phần này, mà dù sao cũng cảm ơn cậu nhiều nhé

 

[lengoctutb]

mình chưa học về bất đẳng thức cauchy, mới học trc chứ chưa học đến phần này, mà dù sao cũng cảm ơn cậu nhiều nhé

Bạn không cần dùng $Cauchy$ cũng được, bạn sử dụng $BĐT$ phụ : $x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq xy+yz+zx$ !