Toán Bất đẳng thức

[Cuprum]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[BDT VASC] Chứng minh rằng với các số thực $a,b,c$ bất kì ta có bất đẳng thức: $(a^3+b^3+c^3)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$

Ứng dụng: Cho $x,y,z$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{x}{xy+1}\ge \frac{3}{2}$

 

[leminhnghia1]

[BDT VASC] Chứng minh rằng với các số thực $a,b,c$ bất kì ta có bất đẳng thức: $(a^3+b^3+c^3)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$

Ứng dụng: Cho $x,y,z$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{x}{xy+1}\ge \frac{3}{2}$

Hình như sai đề rồi a ơi, $(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$
a thử tham khảo 2 cách lm kinh khủng này xem: (bài này e xem ở đâu r)
C1: Ta có:
$ (a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3 b+b^3 c+c^3 a) \\ =\frac{1}{2}(a^2-b^2+2bc-ab-ac)^2 + \frac{1}{2}(b^2-c^2+2ac-bc-ba) + \frac{1}{2} (c^2-a^2+2ab-ca-cb)^2 $
C2:${({a^2} + {b^2} + {c^2})^2} - 3({a^3}b + {b^3}c + {c^3}a)$
$= {\sum {\left( {\frac{1}{2}{a^2} - \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4}ab + \frac{{\sqrt 5 }}{2}ac + \frac{{\sqrt 5 - 1}}{4}{b^2} + \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4}bc - \frac{{1 + \sqrt 5 }}{4}{c^2}} \right)} ^2} \ge 0$

 

[hieutri124]

cho a>0,b>0 và a^3+b^3=2
tìm GTNN của P=a^2+b^2+4/a+4/b

 

[Trafalgar D Law]

cho a>0,b>0 và a^3+b^3=2
tìm GTNN của P=a^2+b^2+4/a+4/b

Áp dụng BĐT AM-GM
[tex]a^{3}+b^{3}+1 \geq 3ab[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3\geq 3ab \Leftrightarrow ab\leq 1[/tex]
P=[tex]4a^{2}+\frac{4}{a}+4b^{2}+\frac{4}{b}-3(a^{2}+b^{2})\geq 8+8-6=10[/tex] ( BĐT AM-GM )
Dấu "=" xảy ra khi a=b=1

 

[Cuprum]

Một cách giải khác như sau:
Ta có: $4(a^3+b^3)\ge (a+b)^3\iff (a-b)^2(a+b)\ge 0$
$\implies a+b\le 2$.
Khi đó: $P\ge \frac{(a+b)^2}{2}+\frac{16}{a+b}$.
Đặt $t=a+b=2$.
$\implies P\ge \frac{t^2}{2}+\frac{16}{t}=(\frac{t^2}{2}+\frac{4}{t}+\frac{4}{t})+\frac{8}{t}$
$\ge^{Cauchy} 6+\frac{8}{2}=10$.
Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=1$