bất đẳng thức

[huradeli]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x^3+y^3+3(x^2+y^2)+4(x+y)+4=0$.
Tính giá trị lớn nhất của: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

 

[minhhieupy2000]

Thực hiện phân tích nhân tử
$x^3+y^3+3(x^2+y^2)+4(x+y)+4=0$
\Leftrightarrow $ (x+y+2)(x^2+y^2+x+y - xy + 2) = 0$
Mặt khác, $x^2+y^2+x+y - xy + 2 = (x+1)^2 + (y+1)^2 - (x+1)(y+1) + 1$
Đặt $a = x+1 ; b= y+1$ thì biểu thức trở thành $a^2 - ab + b^2 + 1 > 0$
Vậy $x+y = -2$
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x+y}{xy} = \dfrac{-2}{xy}$
Mặt khác $xy $\leq$ \dfrac{(x+y)^2}{4} = 1$
\Rightarrow $\dfrac{-2}{xy}$ \leq $\dfrac{-2}{1} = -2$
Không biết có đúng ko nhỉ

 

[huradeli]

Thực hiện phân tích nhân tử
$x^3+y^3+3(x^2+y^2)+4(x+y)+4=0$
\Leftrightarrow $ (x+y+2)(x^2+y^2+x+y - xy + 2) = 0$
Mặt khác, $x^2+y^2+x+y - xy + 2 = (x+1)^2 + (y+1)^2 - (x+1)(y+1) + 1$
Đặt $a = x+1 ; b= y+1$ thì biểu thức trở thành $a^2 - ab + b^2 + 1 > 0$
Vậy $x+y = -2$
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x+y}{xy} = \dfrac{-2}{xy}$
Mặt khác $xy $\leq$ \dfrac{(x+y)^2}{4} = 1$
\Rightarrow $\dfrac{-2}{xy}$ \leq $\dfrac{-2}{1} = -2$
Không biết có đúng ko nhỉ

cái lời giải này sao y hệt diễn đàn toán học thế bạn

 

[minhhieupy2000]

giống tới tận thế cơ à: ??? mình còn chưa biết có cái diễn đàn ấy