Toán 10 Bất đẳng thức xưa và nay

Thảo luận trong 'Bất đẳng thức. Bất phương trình' bắt đầu bởi Học Trò Của Sai Lầm, 8 Tháng một 2019.

Lượt xem: 762

  1. Học Trò Của Sai Lầm

    Học Trò Của Sai Lầm Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    393
    Điểm thành tích:
    66
    Nơi ở:
    Bình Định
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Phù Cát 2
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Bất đẳng thức là 1 trong những vấn đề hay và khó trong chương trình toán phổ thông bởi nó có mặt trong hầu hết lĩnh vực của toán học. Mỗi người chúng ta, đặc biệt là các bạn yêu toán ít nhiều đã từng đau đầu trước 1 bất đẳng thức khó và cảm thấy tự hào khi mình chứng minh được nó.Trong topic này mình sẽ gửi đến 1 số bất đẳng thức mình thấy hay, và mọi người cũng có thể đóng góp các bài bất đẳng thức khác và các lời giải khác nhau
    1) Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$({a^2} - ab + {b^2})({b^2} - bc + {c^2})({c^2} - ca + {a^2}) \le 12$$
    2) Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Chứng minh rằng: $$({a^2} +ab + {b^2})({b^2} +bc + {c^2})({c^2} + ca + {a^2}) \le 3$$
    3) Cho 3 số thực không âm $a,b,c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:$$\frac{a}{{b+c}} + \frac{b}{{c+a}} + \frac{c}{{a+b}} + \frac{1}{2} \ge \frac{{5{{\left( {a+b+c} \right)}^2}}}{{8\left( {ab+bc+ca} \right)}} + \frac{{xyz}}{{\left( {a+b} \right)\left( {b+c} \right)\left( {c+a} \right)}}$$
    @Sweetdream2202 @hdiemht

    4) Cho 3 số thực $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh bất đẳng thức:
    $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \leqslant \dfrac{5}{2}$$
    5) Cho 3 số thực dương $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:
    $$\dfrac{a^3}{2a^2+bc}+\dfrac{b^3}{2b^2+ac}+\dfrac{c^3}{2c^2+ab} \leqslant \dfrac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$$

    6) Cho $1\le x,y,z \le 2$ thỏa mãn $x+y+z=5$. Tìm giá trị lớn nhất của $$P(x,y,z)=x^2(y+z-x)+y^2(x+z-y)+z^2(x+y-z)$$
    Đề xuất bởi Ngô Trúc Quyên
    7) Cho $a,b>0$ thỏa mãn $a^5+b^5=\frac{1}{5}$.Chứng minh rằng
    $$(8+\frac{3}{5ab})(a+b) \ge 11$$
    Đề xuất bởi Bình Dương
    8) Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng
    $$\dfrac{1}{2a^2+a+6}+\dfrac{1}{2b^2+b+6}+\dfrac{1}{2c^2+c+6}\geq\dfrac{1}{3}.$$

    9) Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của
    $$P=\frac{a^2}{\left ( b+c \right )^{2}+5bc}+\frac{b^2}{\left ( c+a \right )^{2}+5ca}-\frac{3}{4}\left ( a+b \right )^{2}. $$
    10) Cho $a,b,c$ là số thực. Chứng minh rằng $$2\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2 \right)\left(a^3+b^3+c^3\right) \le 9\left(\sum a^6 + 3a^2b^2c^2\right)$$
    Đề xuất bởi Đỗ Xuân Trọng
    11) Cho $a,b,c $ là các số không âm. Chứng minh rằng
    \[\sqrt {\frac{a}{{{a^2} + {b^2} + 2}}} + \sqrt {\frac{b}{{{b^2} + {c^2} + 2}}} + \sqrt {\frac{c}{{{c^2} + {a^2} + 2}}} \le \frac{3}{2}\]
    Đề xuất bởi Bùi Xuân Tiên
    12) Cho $a, b$ khác 0 thỏa mãn $a, b \ge \dfrac{-1}{2}$ and $a+b=2$. Prove that
    \[5\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) + 3\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 16\]
    Đề xuất bởi Phạm Quốc Sang

    13) Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng
    $$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} + 3 \leq \dfrac{b+c}{\sqrt{a}} + \dfrac{c+a}{\sqrt{b}} + \dfrac{a+b}{\sqrt{c}}$$
    14) Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng
    $$a+b+c+\frac{3}{ab+bc+ca}\geq 4$$
    15) Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng $$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+2bc}}+\frac{b^2}{\sqrt{b^2+2ca}}+\frac{c^2}{\sqrt{c^2+2ab}}\geq \sqrt{3}.$$
    P/S: Các bạn có bài nào thì up vào topic này với :D
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng một 2019
  2. Kinami Syrex

    Kinami Syrex Học sinh mới Thành viên

    Bài viết:
    30
    Điểm thành tích:
    6
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    Trần Đại Nghĩa

    em có bài này mong mọi người giúp
    cho x,y,z >0 thỏa 2 căn y + căn z = 1/ căn x
    Chứng minh [tex]\frac{3yz}{x}+\frac{4zx}{y}+\frac{5xy}{z}\geq 4[/tex]
     
  3. Học Trò Của Sai Lầm

    Học Trò Của Sai Lầm Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    393
    Điểm thành tích:
    66
    Nơi ở:
    Bình Định
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Phù Cát 2

    Bài này rất quen là kĩ thuật điểm rơi, xuất hiện trong đề HSG toán 9 Hưng Yên năm 2017-2018
    [​IMG]

    Cảm ơn anh đã ủng hộ <3
    Không mất tính tổng quát giả sử [tex]x>y>z\geq 0[/tex].
    Đặt [tex]a=y-x;b=z-y\Rightarrow a,b>0[/tex]
    [tex]P=[x^2+(x+a)^2+(x+a+b)^2][\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{(a+b)^2}]\geq (2a^2+2ab+2b^2).\frac{(a^2+ab+b^2)^2}{a^2b^2(a+b)^2}[/tex]
    Đặt [tex]t=(\frac{a}{b})^2+\frac{a}{b},t>0[/tex] ta có [tex]P\geq \frac{(2t+1)(t+1)^2}{t^2}[/tex]
    Xét hàm số [tex]f(t)=\frac{(2t+1)(t+1)^2}{t^2}=2t+5+\frac{4t+1}{t^2},t\in (0,+\infty )[/tex]
    [tex]f'(t)=\frac{2(t^3-2t-1)}{t^3};f'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]
    Lập bảng biến thiên, ta được [tex]P\geq \frac{11+5\sqrt{5}}{2}[/tex]
    Đẳng thức xảy ra khi [tex]x=0;\frac{y}{z-y}=\frac{-1+\sqrt{3+2\sqrt{5}}}{2}[/tex]
    1 bài dễ hơn
    Cho x, y, z là số thực phân biệt. tìm GTNN của biểu thức:
    [tex]P=(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2})[/tex]

    Mấy bài Cauchy ngược dấu này quá quen, bài 1 thấy được đó bạn :D
    upload_2019-1-8_15-30-13.png

    Lời giải bài 3
    Viết lại bất đẳng thức thành:
    $$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}-\dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}-\dfrac{11}{8} \geq \dfrac{5(x+y+z)^2}{8(xy+yz+zx)}-\dfrac{15}{8}$$
    $$\Leftrightarrow \dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}-\dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}-\dfrac{11}{8} \geq \dfrac{5\sum (x-y)^2}{16(xy+yz+zx)}$$
    Ta có:
    $$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}-\dfrac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}-\dfrac{11}{8}$$
    $$=\dfrac{(x+y+z)\sum(x-y)^2}{8(x+y)(y+z)(z+x)}+\dfrac{3}{8}\sum\dfrac{(x-y)^2}{(x+z)(y+z)}$$
    $$\geq \dfrac{(x+y+z)\sum(x-y)^2}{8(x+y)(y+z)(z+x)}+\dfrac{3}{8}\dfrac{(\sum (x-y)^2)^2}{\sum(x-y)^2(x+z)(y+z)}$$
    Chia cả 2 về cho $\dfrac{\sum (x-y)^2}{8}$, ta cần chứng minh:
    $$\dfrac{x+y+z}{(x+y)(y+z)(z+x)}+\dfrac{3\sum(x-y)^2}{\sum(x-y)^2(x+z)(y+z)}\geq \dfrac{5}{2(xy+yz+zx)}$$
    Ta có: $(x+y)(y+z)(z+x) \leq (x+y+z)(xy+yz+zx)$
    Như vậy ta cần chứng minh:
    $$\dfrac{3\sum(x-y)^2}{\sum(x-y)^2(x+z)(y+z)} \geq \dfrac{3}{2(xy+yz+zx)}$$
    $$\Leftrightarrow 2\sum (x-y)^2(xy+yz+zx) \geq \sum (x-y)^2(x+z)(y+z)$$
    $$\Leftrightarrow \sum (x-y)^2(xy+yz+zx) \geq \sum z^2(x-y)^2$$
    $$\Leftrightarrow \sum (x-y)^2[xy+yz+zx-z^2+(z-x)(z-y)] \geq 0$$
    $$\Leftrightarrow \sum xy(x-y)^2 \geq 0$$
    Bất đẳng thức cuối luôn đúng.
    Hoàn tất chứng minh.
    Bất đẳng thức xảy ra tại $x=y=z$ hoặc $x=y, z=0$ và các hoán vị.

    Lời giải bài 2
    Cách 1:
    : upload_2019-1-8_20-54-11.png
    Cách 2:
    upload_2019-1-8_20-54-43.png
    Cách 3:
    upload_2019-1-8_20-56-18.png
     
    Last edited by a moderator: 9 Tháng một 2019
  4. Sweetdream2202

    Sweetdream2202 Cựu Cố vấn Toán Thành viên

    Bài viết:
    1,615
    Điểm thành tích:
    216
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh

    hì hì. đóng góp câu 1. giả sử [tex]a\geq b\geq c\geq 0[/tex]
    [tex]\left\{\begin{matrix} b^2-bc+c^2\leq b^2\\ c^2-ac+a^2\leq a^2 \end{matrix}\right.[/tex]
    do đó: [tex](a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ac+a^2)\leq (a^2-ab+b^2).b^2.a^2=((a+b)^2-3ab).a^2.b^2\leq (9-3ab)(ab)^2=12.(3-ab).\frac{ab}{2}.\frac{ab}{2}\leq 12.(\frac{3-ab+\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}}{3})^3=12[/tex]

    cho x, y, z là số thực phân biệt và không âm. tìm GTNN của biểu thức:
    [tex]P=(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2})[/tex]
     
    Minh DoraHọc Trò Của Sai Lầm thích bài này.
  5. Minh Dora

    Minh Dora Siêu sao Hóa học Thành viên

    Bài viết:
    1,697
    Điểm thành tích:
    251
    Nơi ở:
    Thanh Hóa
    Trường học/Cơ quan:
    Ở đâu đó

    Góp thêm:
    1,Cho các số thực dương a,b,c. CMR:
    [tex]\frac{a}{a^2+ab+b^2}+\frac{b}{b^2+bc+c^2}+\frac{c}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2}[/tex]
    2,Cho các số thực dương a,b,c,d TM a+b+c+d=4
    CMR:
    a,[tex]\frac{a}{1+b^2c}+ \frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\geq 2[/tex]
    b,[tex]\frac{a+1}{1+b^2}+ \frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+d^2}+\frac{d+1}{1+a^2}\geq 4[/tex]
     
  6. bánh tráng trộn

    bánh tráng trộn Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    492
    Điểm thành tích:
    76
    Nơi ở:
    Trà Vinh
    Trường học/Cơ quan:
    THCS minh TRí

    received_2043742349026934.png
    Nguồn @Học Trò Của Sai Lầm

    God ơi...từ từ để em còn theo kịp.
    Hix

    Làm câu dễ nhất vậy...
    15469598478402252327964074913674.jpg
    P.s bqt dồn bài viết lại dùm em. sorry

    15470297577437607674836350718438.jpg 15470297853727015830258821500299.jpg
     

    Các file đính kèm:

    Last edited by a moderator: 9 Tháng một 2019
  7. Học Trò Của Sai Lầm

    Học Trò Của Sai Lầm Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    393
    Điểm thành tích:
    66
    Nơi ở:
    Bình Định
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Phù Cát 2

    6)
    $$P = \sum x^2\left(5 -2x \right) = 5\left(\sum x^2 \right) - 2\left(\sum x^3 \right)$$
    Ta có $$5x^2 - 2x^3 \ge x + 2 \Leftrightarrow (x-1)(x-2)(2x + 1) \le 0$$obvious true.
    Do đó, $$P \ge x + y + z + 6 = 11$$
    Đẳng thức khi $(x,y,z) =(2,2,1)$
    7) Cách 1
    Đặt $a+b=2u$ and $ab=v^2$.
    Từ đó $$160u^5-200u^2v^2+50uv^4=1$$ ta cần chứng minh
    $$2u\left(8+\frac{3}{5v^2}\right)\geq11$$ hay
    $$u\geq\frac{55v^2}{2(40v^2+3)}.$$
    Tóm lại $u<\frac{55v^2}{2(40v^2+3)}$ và
    $$\left(160u^5-200u^3v^2+50uv^4\right)'_u=800u^4-600u^2v+50v^4>0,$$
    ta có
    $$1=160u^5-200u^3v^2+50uv^4<160\left(\frac{55v^2}{2(40v^2+3)}\right)^5-200\left(\frac{55v^2}{2(40v^2+3)}\right)^3v^2+\frac{55v^2}{2(40v^2+3)}\cdot 50v^4,$$
    mâu thuẫn bởi vì
    $$1\geq160\left(\frac{55v^2}{2(40v^2+3)}\right)^5-200\left(\frac{55v^2}{2(40v^2+3)}\right)^3v^2+\frac{55v^2}{2(40v^2+3)}\cdot 50v^4$$
    $$(5v^2-1)^2(243+18630v^2+612225v^4+11305125v^6+167640000v^8-140800000v^{10})\geq0,$$ đúng vì
    $$\frac{1}{5}=a^5+b^5\geq2\sqrt{a^5b^5}=2\sqrt{v^{10}},$$ đưa ra $v^{2}\leq\frac{1}{\sqrt[5]{100}}$ và hoàn tất
    Cách 2
    $$x=a+b,\left(\sqrt[5]{\frac{1}{5}}\le x \le \sqrt[5]{\frac{16}{5}} \right )$$
    $$a^5+b^5=(a+b)^5-5(a+b)^3ab+5(a+b)a^2b^2=\frac{1}{5}$$
    $$\rightarrow ab=\frac{5x^3-\sqrt{5x^6+4x}}{10x}\le \frac{5x^3-\frac{17x-8}{3}}{10x}=\frac{15x^3-17x+8}{30x}$$
    $$LHS\ge \left(8+\frac{18x}{15x^3-17x+8} \right)x=11+\frac{(x-1)^2(120x^2+75x-88)}{15x^3-17x+8}\ge 11$$
    8) Cách 1
    Sử dụng C-S
    $$\sum_{cyc}\dfrac{1}{2a^2+a+6}=\sum_{cyc}\dfrac{(a-3)^2}{(a-3)^2(2a^2+a+6)}\geq\frac{\left(\sum\limits_{cyc}(a-3)\right)^2}{\sum\limits_{cyc}(a-3)^2(2a^2+a+6)}.$$
    Đủ để chứng minh
    $$108\geq\sum\limits_{cyc}(a-3)^2(2a^2+a+6),$$ tương đương $$\sum_{cyc}ab(a-b)^2\geq0$$
    Cách 2
    Đặt $t = \frac{a+b}{2}$ giả sử $c=\min\{a,b,c\}$ therefore $1 \leqslant t \leqslant \frac{3}{2}$ Set
    \[f(a,b,c) = \dfrac{1}{2a^2+a+6}+\dfrac{1}{2b^2+b+6}+\dfrac{1}{2c^2+c+6}.\]
    Ta có
    \[f(a,b,c)-f(t,t,c) = \frac{[4ab+2(a+b)^2+3(a+b)-11](a-b)^2}{(2a^2+a+6)(2b^2+b+6)[(a+b)^2+a+b+12]} \geqslant 0.\]
    Do đó
    \[f(a,b,c) \geqslant f(t,t,c) = f(t,t,3-2t) =\frac13+ \frac{2(4t+3)(3-2t)(t-1)^2}{3(2t^2+t+6)(8t^2-26t+27)} \geqslant \frac13.\]
    Hoàn tất
     
    bánh tráng trộn thích bài này.
  8. bánh tráng trộn

    bánh tráng trộn Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    492
    Điểm thành tích:
    76
    Nơi ở:
    Trà Vinh
    Trường học/Cơ quan:
    THCS minh TRí

    Topic vắng quá...
    1/ x,y,z >0 thỏa x+y+z=3xyz
    Cmr:[tex]\frac{1}{x^2+2y^2z^2+1}+\frac{1}{y^2+2x^2z^2+1}+\frac{1}{z^2+2x^2y^2+1}\leq \frac{3}{4}[/tex]
    2. Cho a,b,c>0. Cmr
    $\frac{2a^2-2bc}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{2b^2-2ac}{2b^2+a^2+c^2}+\frac{2c^2-2ab}{2c^2+a^2+b^2} \geq0$
     
    Học Trò Của Sai Lầm thích bài này.
  9. Học Trò Của Sai Lầm

    Học Trò Của Sai Lầm Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    393
    Điểm thành tích:
    66
    Nơi ở:
    Bình Định
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Phù Cát 2

    2) BĐT cần chứng minh tương đương
    $ B=\frac { 4a^{ 2 }+(b-c)^{ 2 } }{ 2a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 } } +\frac { 4b^{ 2 }+(c-a)^{ 2 } }{ 2b^{ 2 }+c^{ 2 }+a^{ 2 } } +\frac { 4c^{ 2 }+(a-b)^{ 2 } }{ 2c^{ 2 }+a^{ 2 }+b^{ 2 } } \geq 3\\ <=>(2-\frac { 4a^{ 2 }+(b-c)^{ 2 } }{ 2a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 } } )+(2-\frac { 4b^{ 2 }+(c-a)^{ 2 } }{ 2b^{ 2 }+c^{ 2 }+a^{ 2 } } )+(2-\frac { 4c^{ 2 }+(a-b)^{ 2 } }{ 2c^{ 2 }+a^{ 2 }+b^{ 2 } } )\le 3\\ <=>\sum { \frac { { (b+c) }^{ 2 } }{ 2a^{ 2 }+b^{ 2 }+c } } \le 3.$
    $ ->\sum { \frac { { (b+c) }^{ 2 } }{ 2a^{ 2 }+b^{ 2 }+c } } \le \sum { \frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } +\sum { \frac { { c }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } } =3 } } $
     
    bánh tráng trộn thích bài này.
  10. bánh tráng trộn

    bánh tráng trộn Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    492
    Điểm thành tích:
    76
    Nơi ở:
    Trà Vinh
    Trường học/Cơ quan:
    THCS minh TRí

    Góp thêm 1 câu của thpt chuyên Trà Vinh....
    received_386687862133011.jpeg
     
  11. matheverytime

    matheverytime Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    1,108
    Điểm thành tích:
    176
    Nơi ở:
    Bình Định

    cho x,y,z >0 và thỏa mãn [tex]x^2+y^2+z^2+2xyz=1[/tex]
    Tìm max của [tex]P=2x+y+z[/tex]
     
    bánh tráng trộn thích bài này.
  12. bánh tráng trộn

    bánh tráng trộn Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    492
    Điểm thành tích:
    76
    Nơi ở:
    Trà Vinh
    Trường học/Cơ quan:
    THCS minh TRí

    15473809419984056275374652024292.jpg
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->