- 17 Tháng bảy 2018
- 393
- 498
- 66
- 20
- Bình Định
- THPT Phù Cát 2
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Bất đẳng thức là 1 trong những vấn đề hay và khó trong chương trình toán phổ thông bởi nó có mặt trong hầu hết lĩnh vực của toán học. Mỗi người chúng ta, đặc biệt là các bạn yêu toán ít nhiều đã từng đau đầu trước 1 bất đẳng thức khó và cảm thấy tự hào khi mình chứng minh được nó.Trong topic này mình sẽ gửi đến 1 số bất đẳng thức mình thấy hay, và mọi người cũng có thể đóng góp các bài bất đẳng thức khác và các lời giải khác nhau
1) Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$({a^2} - ab + {b^2})({b^2} - bc + {c^2})({c^2} - ca + {a^2}) \le 12$$
2) Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Chứng minh rằng: $$({a^2} +ab + {b^2})({b^2} +bc + {c^2})({c^2} + ca + {a^2}) \le 3$$
3) Cho 3 số thực không âm $a,b,c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:$$\frac{a}{{b+c}} + \frac{b}{{c+a}} + \frac{c}{{a+b}} + \frac{1}{2} \ge \frac{{5{{\left( {a+b+c} \right)}^2}}}{{8\left( {ab+bc+ca} \right)}} + \frac{{xyz}}{{\left( {a+b} \right)\left( {b+c} \right)\left( {c+a} \right)}}$$
@Sweetdream2202 @hdiemht
4) Cho 3 số thực $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \leqslant \dfrac{5}{2}$$
5) Cho 3 số thực dương $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\dfrac{a^3}{2a^2+bc}+\dfrac{b^3}{2b^2+ac}+\dfrac{c^3}{2c^2+ab} \leqslant \dfrac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$$
6) Cho $1\le x,y,z \le 2$ thỏa mãn $x+y+z=5$. Tìm giá trị lớn nhất của $$P(x,y,z)=x^2(y+z-x)+y^2(x+z-y)+z^2(x+y-z)$$
Đề xuất bởi Ngô Trúc Quyên
7) Cho $a,b>0$ thỏa mãn $a^5+b^5=\frac{1}{5}$.Chứng minh rằng
$$(8+\frac{3}{5ab})(a+b) \ge 11$$
Đề xuất bởi Bình Dương
8) Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng
$$\dfrac{1}{2a^2+a+6}+\dfrac{1}{2b^2+b+6}+\dfrac{1}{2c^2+c+6}\geq\dfrac{1}{3}.$$
9) Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$P=\frac{a^2}{\left ( b+c \right )^{2}+5bc}+\frac{b^2}{\left ( c+a \right )^{2}+5ca}-\frac{3}{4}\left ( a+b \right )^{2}. $$
10) Cho $a,b,c$ là số thực. Chứng minh rằng $$2\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2 \right)\left(a^3+b^3+c^3\right) \le 9\left(\sum a^6 + 3a^2b^2c^2\right)$$
Đề xuất bởi Đỗ Xuân Trọng
11) Cho $a,b,c $ là các số không âm. Chứng minh rằng
\[\sqrt {\frac{a}{{{a^2} + {b^2} + 2}}} + \sqrt {\frac{b}{{{b^2} + {c^2} + 2}}} + \sqrt {\frac{c}{{{c^2} + {a^2} + 2}}} \le \frac{3}{2}\]
Đề xuất bởi Bùi Xuân Tiên
12) Cho $a, b$ khác 0 thỏa mãn $a, b \ge \dfrac{-1}{2}$ and $a+b=2$. Prove that
\[5\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) + 3\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 16\]
Đề xuất bởi Phạm Quốc Sang
13) Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng
$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} + 3 \leq \dfrac{b+c}{\sqrt{a}} + \dfrac{c+a}{\sqrt{b}} + \dfrac{a+b}{\sqrt{c}}$$
14) Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng
$$a+b+c+\frac{3}{ab+bc+ca}\geq 4$$
15) Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng $$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+2bc}}+\frac{b^2}{\sqrt{b^2+2ca}}+\frac{c^2}{\sqrt{c^2+2ab}}\geq \sqrt{3}.$$
P/S: Các bạn có bài nào thì up vào topic này với
1) Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $$({a^2} - ab + {b^2})({b^2} - bc + {c^2})({c^2} - ca + {a^2}) \le 12$$
2) Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Chứng minh rằng: $$({a^2} +ab + {b^2})({b^2} +bc + {c^2})({c^2} + ca + {a^2}) \le 3$$
3) Cho 3 số thực không âm $a,b,c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:$$\frac{a}{{b+c}} + \frac{b}{{c+a}} + \frac{c}{{a+b}} + \frac{1}{2} \ge \frac{{5{{\left( {a+b+c} \right)}^2}}}{{8\left( {ab+bc+ca} \right)}} + \frac{{xyz}}{{\left( {a+b} \right)\left( {b+c} \right)\left( {c+a} \right)}}$$
@Sweetdream2202 @hdiemht
4) Cho 3 số thực $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \leqslant \dfrac{5}{2}$$
5) Cho 3 số thực dương $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\dfrac{a^3}{2a^2+bc}+\dfrac{b^3}{2b^2+ac}+\dfrac{c^3}{2c^2+ab} \leqslant \dfrac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$$
6) Cho $1\le x,y,z \le 2$ thỏa mãn $x+y+z=5$. Tìm giá trị lớn nhất của $$P(x,y,z)=x^2(y+z-x)+y^2(x+z-y)+z^2(x+y-z)$$
Đề xuất bởi Ngô Trúc Quyên
7) Cho $a,b>0$ thỏa mãn $a^5+b^5=\frac{1}{5}$.Chứng minh rằng
$$(8+\frac{3}{5ab})(a+b) \ge 11$$
Đề xuất bởi Bình Dương
8) Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng
$$\dfrac{1}{2a^2+a+6}+\dfrac{1}{2b^2+b+6}+\dfrac{1}{2c^2+c+6}\geq\dfrac{1}{3}.$$
9) Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$P=\frac{a^2}{\left ( b+c \right )^{2}+5bc}+\frac{b^2}{\left ( c+a \right )^{2}+5ca}-\frac{3}{4}\left ( a+b \right )^{2}. $$
10) Cho $a,b,c$ là số thực. Chứng minh rằng $$2\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2 \right)\left(a^3+b^3+c^3\right) \le 9\left(\sum a^6 + 3a^2b^2c^2\right)$$
Đề xuất bởi Đỗ Xuân Trọng
11) Cho $a,b,c $ là các số không âm. Chứng minh rằng
\[\sqrt {\frac{a}{{{a^2} + {b^2} + 2}}} + \sqrt {\frac{b}{{{b^2} + {c^2} + 2}}} + \sqrt {\frac{c}{{{c^2} + {a^2} + 2}}} \le \frac{3}{2}\]
Đề xuất bởi Bùi Xuân Tiên
12) Cho $a, b$ khác 0 thỏa mãn $a, b \ge \dfrac{-1}{2}$ and $a+b=2$. Prove that
\[5\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) + 3\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 16\]
Đề xuất bởi Phạm Quốc Sang
13) Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng
$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} + 3 \leq \dfrac{b+c}{\sqrt{a}} + \dfrac{c+a}{\sqrt{b}} + \dfrac{a+b}{\sqrt{c}}$$
14) Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng
$$a+b+c+\frac{3}{ab+bc+ca}\geq 4$$
15) Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng $$\frac{a^2}{\sqrt{a^2+2bc}}+\frac{b^2}{\sqrt{b^2+2ca}}+\frac{c^2}{\sqrt{c^2+2ab}}\geq \sqrt{3}.$$
P/S: Các bạn có bài nào thì up vào topic này với
Last edited by a moderator:
