Bất đẳng thức và đẳng thức trong tam giác

[iclinguyen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng mọi tam giác ABC đều có
[laTEX] (1+\frac{1}{sin\frac{A}{2}})(1+\frac{1}{sin\frac{B}{2}})(1+\frac{1}{sin\frac{C}{2}})\ge 27 [/laTEX]

Khi nào đẳng thức xảy ra?

 

[bboy114crew]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng mọi tam giác ABC đều có
[laTEX] (1+\frac{1}{sin\frac{A}{2}})(1+\frac{1}{sin\frac{B}{2}})(1+\frac{1}{sin\frac{C}{2}})\ge 27 [/laTEX]

Khi nào đẳng thức xảy ra?

Ta có:
[laTEX] (1+\frac{1}{sin\frac{A}{2}})(1+\frac{1}{sin\frac{B}{2}})(1+\frac{1}{sin\frac{C}{2}})\ge (1+ \frac{1}{\sqrt{sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}})^3 [/laTEX]
[laTEX] \ge (1+ \frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{2}}})^3=27[/laTEX]

Bạn tự chứng minh hai BĐT :

[laTEX] sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2} \le \frac{3}{2}[/laTEX]

Từ đó suy ra :
[laTEX] sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2} \le \frac{1}{8}[/laTEX]