Ta có: [tex]\cos A.\cos B.\cos C=\frac{p^2-(2R+r)^2}{4R^2} [/tex]
[tex]\sin \frac{A}{2}. \sin\frac{B}{2}.\sin\frac{C}{2}=\frac{r}{4R}[/tex]
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
[tex]\frac{p^2-(2R+r)^2}{4R^2} \leq \frac{r}{4R}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow p^2\leq 4R^2+r^2+5Rr[/tex]
Theo bất đẳng thức Gerretsen thứ hai, ta có:
[tex]p^2\leq 4R^2+4Rr+3r^2[/tex]
Vậy ta chỉ cần chứng minh
[tex]4R^2+4Rr+3r^2\leq 4R^2+r^2+5Rr[/tex]
[tex]\Leftrightarrow r(2r-R)\leq 0[/tex]
Bất đẳng thức cuối luôn đúng theo bất đẳng thức Euler
Chứng minh hoàn tất