Toán 10 Bất đẳng thức lượng giác

[Lê.T.Hà]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC bất kì, chứng minh luôn có:
[tex]cosA.cosB.cosC\leq sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}[/tex]

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

Ta có: [tex]\cos A.\cos B.\cos C=\frac{p^2-(2R+r)^2}{4R^2} [/tex]
[tex]\sin \frac{A}{2}. \sin\frac{B}{2}.\sin\frac{C}{2}=\frac{r}{4R}[/tex]
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
[tex]\frac{p^2-(2R+r)^2}{4R^2} \leq \frac{r}{4R}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow p^2\leq 4R^2+r^2+5Rr[/tex]
Theo bất đẳng thức Gerretsen thứ hai, ta có:
[tex]p^2\leq 4R^2+4Rr+3r^2[/tex]
Vậy ta chỉ cần chứng minh
[tex]4R^2+4Rr+3r^2\leq 4R^2+r^2+5Rr[/tex]
[tex]\Leftrightarrow r(2r-R)\leq 0[/tex]
Bất đẳng thức cuối luôn đúng theo bất đẳng thức Euler
Chứng minh hoàn tất

 

[Lê.T.Hà]

Em cảm ơn
Có cách nào nhẹ nhàng hơn, dùng các phép biến đổi lượng giác trong chương trình SGK không ạ?

 

[mỳ gói]

Cho tam giác ABC bất kì, chứng minh luôn có:
[tex]cosA.cosB.cosC\leq sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}[/tex]

Tương tự rồi nhân lại.

 

[Lê.T.Hà]

Tương tự rồi nhân lại.

Cảm ơn bạn, nhưng cho mình hỏi do tam giác ABC bất kì nên có khả năng một trong các giá trị cosA, B, C âm, nên nhân vế với vế của BĐT liệu có đảm bảo không ạ?

 

[mỳ gói]

Cảm ơn bạn, nhưng cho mình hỏi do tam giác ABC bất kì nên có khả năng một trong các giá trị cosA, B, C âm, nên nhân vế với vế của BĐT liệu có đảm bảo không ạ?