Toán 9 bất đẳng thức khó

[cuduckien]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c các số thực không âm sao cho hai trong số chúng khác 0. Chứng minh rằng:
[imath]\dfrac{a^2}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^2}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^2}{c^2+ca+a^2}\ge 1[/imath]

mọi người giải giúp mik với.

 

[7 1 2 5]

View attachment 216024
mọi người giải giúp mik với.

cuduckienVới trường hợp có [imath]1[/imath] số bằng [imath]0[/imath] thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Ta biến đổi bất đẳng thức thành [imath]\dfrac{1}{(\dfrac{b}{a})^2+\dfrac{b}{a}+1}+\dfrac{1}{(\dfrac{c}{b})^2+\dfrac{c}{b}+1}+\dfrac{1}{(\dfrac{a}{c})^2+\dfrac{a}{c}+1} \geq 1[/imath]
Đặt [imath](\dfrac{b}{a},\dfrac{c}{b},\dfrac{a}{c})=(x,y,z)[/imath] thì [imath]xyz=1[/imath].
Khi đó tồn tại [imath]m,n,p>0[/imath] sao cho [imath](x,y,z)=(\dfrac{np}{m^2},\dfrac{mp}{n^2},\dfrac{mn}{p^2})[/imath]
Bất đẳng thức trên trở thành [imath]\dfrac{m^4}{m^4+npm^2+n^2p^2}+\dfrac{n^4}{n^4+mpn^2+m^2p^2}+\dfrac{p^4}{p^4+mnp^2+m^2n^2} \geq 1[/imath]
Áp dụng BĐT Schwartz ta có: [imath]\dfrac{m^4}{m^4+npm^2+n^2p^2}+\dfrac{n^4}{n^4+mpn^2+m^2p^2}+\dfrac{p^4}{p^4+mnp^2+m^2n^2} \geq \dfrac{(m^2+n^2+p^2)^2}{m^4+n^4+p^4+m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2+mnp^2+npm^2+pmn^2}[/imath]
Mặt khác, [imath]mnp^2+npm^2+pmn^2=(mn)(np)+(np)(pm)+(mp)(mn) \leq m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2[/imath]
[imath]\Rightarrow m^4+n^4+p^4+m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2+mnp^2+npm^2+pmn^2 \leq m^4+n^4+p^4+2(m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2)=(m^2+n^2+p^2)^2[/imath]
Từ đó ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

 

[kido2006]

Bài này là 1 hệ quả của bất đẳng thức Vacs

TH1: Tồn tại 1 số bằng 0
Không mất tổng quát giả sử [imath]c=0[/imath]
Khi đó ta cần chứng minh [imath]\dfrac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 0[/imath] (luôn đúng)
TH2: Cả 3 số khác 0
Đặt [imath]\left ( \dfrac{b}{a},\dfrac{a}{c},\dfrac{c}{b} \right )=(x,y,z)[/imath]
Khi đó bất đẳng thức trên trở thành
Cho số thực dương [imath]x,y,z[/imath] thỏa [imath]xyz=1[/imath]. Chứng minh [imath]\sum \dfrac{1}{x^2+x+1}\geq 1[/imath]
Đặt [imath](x,y,z)=\left (\dfrac{jq}{k^2},\dfrac{qk}{j^2},\dfrac{kj}{q^2} \right )[/imath]
Thì ta có [imath]VT=\sum \dfrac{j^4}{j^4+j^2qk+q^2k^2}\geq \dfrac{(\sum j^2)^2}{\sum j^4+\sum j^2qk+\sum q^2k^2}[/imath]
Ta chứng minh [imath]\dfrac{(\sum j^2)^2}{\sum j^4+\sum j^2qk+\sum q^2k^2} \ge 1[/imath]
Hiển nhiên đúng khi khai triển sẽ trở thành [imath]\sum q^2k^2 \ge jqk(j+q+k)[/imath] (đúng)

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức