Toán Bất đẳng thức, GTNN

[newswordhero]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho a > 0, b > 0, a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
[tex]M = \frac{1}{ab} + \frac{1}{a^{2} + b^{2}}[/tex]
2) Chứng minh hộ mình phần b)
Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn : a + b + c = 3
a) [tex]\dpi{120} \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leq 3[/tex]
b) [tex]\dpi{120} \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{4ab + 6c - c^{2}}} + \frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{4bc + 6a - a^{2}}} + \frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{4ca + 6b - b^{2}}} \geq 1[/tex]
3) Con này cũng chỉ làm hộ mình phần b) thôi
a) [tex]\dpi{120} a^{2} - ab + b^{2} \geq \frac{1}{3}(a^{2} + ab + b ^{2})[/tex]
b) [tex]\dpi{120} \frac{a^{3}}{a^{2} + ab + b^{2}} + \frac{b^{3}}{b^{2} +bc + c^{2}} + \frac{c^{3}}{c^{2} + ca + a^{2}} \geq \frac{a + b + c}{3}[/tex]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Hướng dẫn:
1)
$\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}
\\\geq \dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{\dfrac{(a+b)^2}{2}}
\\=\dfrac{4}{(a+b)^2}+\dfrac{2}{(a+b)^2}
\\=4+2=6$
3)
$\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}
\\=\dfrac{a(a^2+ab+b^2)-ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}
\\=a-\dfrac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}
\\\geq a-\dfrac{ab(a+b)}{3ab}
\\=a-\dfrac{a+b}{3}$
Làm tương tự cộng vế theo vế sẽ có đpcm.
2b)
$\dfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{4ab+6c-c^2}}
\\\geq \dfrac{3a^2}{\sqrt{9a[4ab+6c-(2c-1)]}}
\\\geq \dfrac{6a^2}{9a+4ab+4c+1}
\\\Rightarrow \sum \dfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{4ab+6c-c^2}}\geq 6 \sum \dfrac{a^2}{9a+4ab+4c+1}$.
Ta có:
$\sum \dfrac{a^2}{9a+4ab+4c+1}
\\\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{13(a+b+c)+4(ab+bc+ca)+3}
\\\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{13(a+b+c)+\dfrac{4(a+b+c)^2}{3}+3}
\\=\dfrac{1}{6}
\\\Rightarrow 6 \sum \dfrac{a^2}{9a+4ab+4c+1} \geq 1(DPCM)$