Bất đẳng thức dùng đạo hàm.

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đề bài: Cho các số không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$a^2b+b^2c+c^2a+abc\le \dfrac{4}{27}(a+b+c)^3$$
Làm theo các bước sau:
Bước 1: Đặt $f(t)=F(x,y,z)=x^2y+y^2z+z^2x+xyz-\dfrac{4}{27}(x+y+z)^3$
Với $x=a+t,y=b+t,z=c+t$ và $t\ge -c=-\text{min}\{a,b,c\}$
Bước 2: Chứng minh $f'(t) \le 0$
Bước 3: Quy về chứng minh khi một biến bằng $0$

Bắt buộc phải làm qua ba bước trên.

 

[huynhbachkhoa23]

Để ý là:$$f'(t) = [F]$$
Trong đó $[F]=\dfrac{dF}{dx}+\dfrac{dF}{dy}+\dfrac{dF}{dz}$
và $\dfrac{dF}{dx}$ là đạo hàm riêng của $F$ theo $x$ bằng cách coi $x$ là ẩn, $y,z$ là tham số. Tương tự với $\dfrac{dF}{dy}, \dfrac{dF}{dz}$
$$f'(t)=\dfrac{xy+yz+zx-x^2-y^2-z^2}{3}$$
$$\to f(t) \le f(-c)=F(a-c,b-c,0)=F(m,n,0)=m^2n-\dfrac{4}{27}(m+n)^3$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $c=0$ hoặc $a=b=c$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$$m^2n = \dfrac{m.m.2n}{2} \le \dfrac{4}{27}(m+n)^3$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=2b-c$ hoặc $a=b=c$
Hoàn tất chứng minh. Tóm lại:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc $a=2b, c=0$ và các hoán vị tương ứng.