Bất Đẳng thức ai giúp mình với

[daculla123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho a,b,c>1.Chứng minh
[TEX]\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{c(ab+1)}.[/TEX]
2.Cho x,y>0 xy=1 Tìm GTNN
[TEX]A=x^2+3x+y^2+3y+\frac{9}{x^2+y^2+1}.[/TEX]
3.Cho a,b,c >0 abc=1
C/m [TEX]\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(b+a)}\geq \frac{3}{2}.[/TEX]
4.Cho a,b,c>0,abc=1.Chứng minh
[TEX]\frac{1+ab^2}{c^3}+\frac{1+bc^2}{a^3}+\frac{1+ca^2}{b^3}\geq \frac{18}{a^3+b^3+c^3}.[/TEX]
5.a,b,c>0 a^2+b^2+c^2=3.Tìm GTNN
[TEX]A=\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{(ab+bc+ca)^2}.[/TEX]

 

[nerversaynever]

1.Cho a,b,c>1.Chứng minh
[TEX]\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{c(ab+1)}.[/TEX]
2.Cho x,y>0 xy=1 Tìm GTNN
[TEX]A=x^2+3x+y^2+3y+\frac{9}{x^2+y^2+1}.[/TEX]
3.Cho a,b,c >0 abc=1
C/m [TEX]\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(b+a)}\geq \frac{3}{2}.[/TEX]
4.Cho a,b,c>0,abc=1.Chứng minh
[TEX]\frac{1+ab^2}{c^3}+\frac{1+bc^2}{a^3}+\frac{1+ca^2}{b^3}\geq \frac{18}{a^3+b^3+c^3}.[/TEX]
5.a,b,c>0 a^2+b^2+c^2=3.Tìm GTNN
[TEX]A=\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{(ab+bc+ca)^2}.[/TEX]

1.Bổ đề
[TEX]\begin{array}{l}\sqrt {x - 1} + \sqrt {y - 1} \le \sqrt {xy} \\\Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)} \le \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)} - 1} \right)^2} \ge 0\end{array}[/TEX]
suy ra
[TEX]\sqrt {a - 1} + \sqrt {b - 1} + \sqrt {c - 1} \le \sqrt {\left( {ab + 1} \right) - 1} + \sqrt {c - 1} \le \sqrt {c\left( {ab + 1} \right)}[/TEX]

2.
[TEX]VT = \left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) + \frac{9}{{{x^2} + {y^2} + 1}} + 3x + 3y - 1 \ge 6 + 6 - 1 = 11[/TEX]
dấu bằng khi x=y=1
3.
[TEX]\begin{array}{l}\frac{1}{{{a^3}\left( {b + c} \right)}} + \frac{{a\left( {b + c} \right)}}{4} \ge \frac{1}{a} = bc\\ = > VT \ge \frac{{ab + bc + ca}}{2} \ge \frac{3}{2}\end{array}[/TEX]
= khi a=b=c=1
4.
[TEX]\begin{array}{l}VT = \frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}} + \frac{{a{b^2}}}{{{c^3}}} + \frac{{b{c^2}}}{{{a^3}}} + \frac{{c{a^2}}}{{{b^3}}} \ge \frac{9}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} + 3\\{a^3} + {b^3} + {c^3} \ge 3 = > VT \ge \frac{9}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} + \frac{9}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} = VP\end{array}[/TEX]

5.
[TEX]\begin{array}{l}A\left( {a + b + c} \right) = \frac{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}} \right)}}{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}} \ge 1\\ = > A \ge \frac{1}{{a + b + c}} \ge \frac{1}{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }} = \frac{1}{3}\end{array}[/TEX]
= khi a=b=c=1