Toán 9 Bài toán về ước số (Hay mà khó)

ankhongu

Học sinh tiến bộ
Thành viên
17 Tháng tám 2018
1,063
719
151
16
Hà Nội
Dong Da secondary school
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn : [tex]n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2[/tex] trong đó a, b, c, d là 4 ước số nguyên dương nhỏ nhất của n và a < b < c < d

Bài này hình như hay và nhiều bạn đã làm rồi mà mình vẫn chưa biết cách làm :( Ai mà biết thì giúp mình với được không vậy ?
 

mbappe2k5

Học sinh gương mẫu
Thành viên
7 Tháng tám 2019
2,577
2,113
336
Hà Nội
Trường Đời
1. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn : [tex]n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2[/tex] trong đó a, b, c, d là 4 ước số nguyên dương nhỏ nhất của n và a < b < c < d

Bài này hình như hay và nhiều bạn đã làm rồi mà mình vẫn chưa biết cách làm :( Ai mà biết thì giúp mình với được không vậy ?
Những bài bạn cần được giúp hầu như toàn là bài ôn của đội tuyển mình thế nhỉ :)
Nếu [TEX]n[/TEX] lẻ thì [TEX]a,b,c,d[/TEX] đều lẻ, khi đó [TEX]n[/TEX] lại chẵn (vô lý).
Do đó [TEX]n[/TEX] chẵn nên [TEX]a=1, b=2 => n=5+c^2+d^2[/TEX].
Nếu [TEX]c[/TEX] là hợp số lẻ thì dễ thấy [TEX]c[/TEX] có 2 ước lẻ lớn hơn 1 và nhỏ hơn [TEX]c[/TEX] (mâu thuẫn với giả thiết [TEX]c[/TEX] là ước số nhỏ nhất lớn hơn 2 của [TEX]n[/TEX]).
Nếu [TEX]c[/TEX] là hợp số chia hết cho 4 thì khi đó [TEX]n[/TEX] chia hết cho 4 nên [TEX]5+c^2+d^2[/TEX] chia hết cho 4. Suy ra [TEX]c^2+d^2[/TEX] chia 4 dư 3 (vô lí vì [TEX]c^2[/TEX] chia hết cho 4).
Từ đó ta thấy có 2 trường hợp [TEX](a,b,c,d)[/TEX] là [TEX](1,2,p,q)[/TEX] và [TEX](1,2,p,2p)[/TEX] với [TEX]p,q[/TEX] là các số nguyên tố lớn hơn 2.
TH1: [TEX]c=p, d=q[/TEX].
Khi đó [TEX]n=5+p^2+q^2[/TEX]. Do [TEX]p,q[/TEX] lẻ nên [TEX]n[/TEX] lẻ, vô lý.
TH2: [TEX]c=p, d=2p[/TEX].
Khi đó [TEX]n=5+5p^2[/TEX] nên [TEX]n[/TEX] chia hết cho 5, do đó [TEX]p=5 => c=5,d=10 => n=130[/TEX] (thỏa mãn).
 
  • Like
Reactions: ankhongu

ankhongu

Học sinh tiến bộ
Thành viên
17 Tháng tám 2018
1,063
719
151
16
Hà Nội
Dong Da secondary school
Những bài bạn cần được giúp hầu như toàn là bài ôn của đội tuyển mình thế nhỉ :)
Nếu [TEX]n[/TEX] lẻ thì [TEX]a,b,c,d[/TEX] đều lẻ, khi đó [TEX]n[/TEX] lại chẵn (vô lý).
Do đó [TEX]n[/TEX] chẵn nên [TEX]a=1, b=2 => n=5+c^2+d^2[/TEX].
Nếu [TEX]c[/TEX] là hợp số lẻ thì dễ thấy [TEX]c[/TEX] có 2 ước lẻ lớn hơn 1 và nhỏ hơn [TEX]c[/TEX] (mâu thuẫn với giả thiết [TEX]c[/TEX] là ước số nhỏ nhất lớn hơn 2 của [TEX]n[/TEX]).
Nếu [TEX]c[/TEX] là hợp số chia hết cho 4 thì khi đó [TEX]n[/TEX] chia hết cho 4 nên [TEX]5+c^2+d^2[/TEX] chia hết cho 4. Suy ra [TEX]c^2+d^2[/TEX] chia 4 dư 3 (vô lí vì [TEX]c^2[/TEX] chia hết cho 4).
Từ đó ta thấy có 2 trường hợp [TEX](a,b,c,d)[/TEX] là [TEX](1,2,p,q)[/TEX] và [TEX](1,2,p,2p)[/TEX] với [TEX]p,q[/TEX] là các số nguyên tố lớn hơn 2.
TH1: [TEX]c=p, d=q[/TEX].
Khi đó [TEX]n=5+p^2+q^2[/TEX]. Do [TEX]p,q[/TEX] lẻ nên [TEX]n[/TEX] lẻ, vô lý.
TH2: [TEX]c=p, d=2p[/TEX].
Khi đó [TEX]n=5+5p^2[/TEX] nên [TEX]n[/TEX] chia hết cho 5, do đó [TEX]p=5 => c=5,d=10 => n=130[/TEX] (thỏa mãn).
Kia là xét c là hợp số chứ không phải hợp số lẻ phải không ? Với cả cho mình hỏi tại sao d lại chỉ bằng q hoặc 2p thế ? Chỗ đó mình chưa hiểu lắm :(
 

mbappe2k5

Học sinh gương mẫu
Thành viên
7 Tháng tám 2019
2,577
2,113
336
Hà Nội
Trường Đời
Kia là xét c là hợp số chứ không phải hợp số lẻ phải không ?
Mình có xét hợp số lẻ đấy rồi mà.
Với cả cho mình hỏi tại sao d lại chỉ bằng q hoặc 2p thế ? Chỗ đó mình chưa hiểu lắm
Xét tương tự với [TEX]d[/TEX] thì ta cũng chỉ có những tường hợp như vậy thôi.
Thật ra mình cũng không biết diễn đạt thế nào, vì lúc thầy giảng bài này mình không ghi đủ. Bài này chính là bài trong đề vòng 3 đội tuyển mình đó, cái vòng đã đánh "suýt trượt" từ thứ 7 xuống 12 :)
 
  • Like
Reactions: ankhongu
Top Bottom