Dễ dàng chứng minh:
$x^2 \equiv 0,1(mod 3)$
Do đó $a^2+b^2 \equiv 0,1,2(mod 3)$ và $c^2 \equiv 0,1(mod 3)$.
Mặt khác $a^2+b^2=c^2$ do đó xảy ra các trường hợp:
TH1:Cả $a^2,b^2,c^2$ chia $3$ thì do $3$ là số nguyên tố nên $a,b,c \vdots 3 \Rightarrow a+b+c \vdots 3$.
TH2:Tồn tại $1$ trong $2$ số $a^2,b^2$ chia $3$ dư $1$ và số còn lại sẽ chia hết cho $3$. Còn $c^2$ sẽ chia $3$ dư $1$.
Không mất tính tổng quát giả sử :$a^2$ chia hết cho $3$ ,$b^2$ chia $3$ dư $1$,$c^2$ chia $3$ dư $1$.
Khi đó $b,c$ sẽ có thể cùng số dư khi chia cho $3$(dư $1,2$) hoặc khác số dư (số dư khác $0$)
$a^2+b^2=c^2
\\\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=2c^2+2ab+2bc+2ca
\\\Rightarrow (a+b+c)^2=2(c+a)(c+b) \equiv c(c+b)(mod 3)$
Nếu $b,c$ khác số dư khi chia cho $3$(số dư khác $0$) thì hiển nhiên $b+c$ chia hết cho $3$.Do đó có điều phải chứng minh.
Nếu $b,c$ có cùng số dư khi đó thì $bc \equiv 1(mod 3)$.
Tách ra thành:
$(a+b+c)^2\equiv c(c+b) (mod 3)
\\\Rightarrow (a+b+c)^4 \equiv c^2(c^2+b^2+2bc) \equiv 1(1+1+1) \equiv 0(mod 3)$.
Do đó có điều phải chứng minh.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
