Bài toán bất đẳng thức chứng minh

V

vodichhocmai

Cho [TEX]a,b[/TEX] là số dương với điều kiện : [TEX]a^2+b=5[/TEX]
Chứng minh: [TEX]a^3+b^3\ge \9[/TEX].
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Đề sai :

[TEX]f(a):= a^3+(5-a^2)^3 \ \ \ \ \ 0<a<\sqrt{5}[/TEX]

Và hiển nhiên hàm số liên tục [TEX]\[0;\sqrt{5}\][/TEX]

[TEX]f'(a):=-3a(a-2)(2a^3+4a^2-12a-25)[/TEX]

Ta có lại có

[TEX]max \[g(x):=2a^3+4a^2-12a-25\]=max\{g(0)=-25\ \ ;g(\sqrt{5}=-5-2\sqrt{5} \ \ ;g\(\frac{\sqrt{22}-2}{2}\)=-\frac{427+88\sqrt{2}}{27}\} [/TEX]

Do đó ta có [TEX]f'(a):=0 \Leftrightarrow a=2[/TEX]

[TEX] \righ a^3+(5-a^2)^3 \ge 9[/TEX]
 
V

vodichhocmai

Cho [TEX]a,b[/TEX] là số dương với điều kiện : [TEX]a^2+b=5[/TEX]
Chứng minh: [TEX]a^3+b^3\ge \9[/TEX].
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] ta có

[TEX]\frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{2}+4 \ge 3a^2[/TEX]

[TEX]b^3+1+1 \ge 3b[/TEX]

[TEX]\righ a^3+b^3 \ge 3(a^2+b)-6[/TEX]

[TEX]\righ a^3+b^3 \ge 9[/TEX]
 
V

vodichhocmai

Chúng ta luôn có [TEX]\forall a,b >0[/TEX] thì

[TEX](a-2)^2(a+1)+(b-1)^2(b+2) \ge 0[/TEX]

[TEX]\rightarrow a^3+b^3 \ge 9[/TEX]
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom