Bài tập về Bất đẳng thức Cô -si

[g_dragon88]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 1.
CMR: M = [TEX]\sqrt{a+b}[/TEX]+[TEX]\sqrt{b+c}[/TEX]+[TEX]\sqrt{c+a}[/TEX] \leq [TEX]\sqrt{6}[/TEX]
Bài 2: Cho a\geq1, b\geq 1. CMR:
P = a.[TEX]\sqrt{b-1}[/TEX] + b.[TEX]\sqrt{a-1}[/TEX] \leq ab
Bài 3: Cho a\geq3, b\geq4, c\geq2. Tìm max của:
M= [TEX] \frac{ab. \sqrt{c-2} + bc. \sqrt{a-3} + ac. \sqrt{b-4}}{abc}[/TEX]
Bài 4: Tìm min của:
Q = (3-x)(4-y)(2x+3y)
với 0\leqx\leq3 và 0\leqy\leq4
Bài 5: Cho x, y > 0. Tìm min của :
A = [TEX] \frac{(x+y)^3}{x. y^2}/TEX] Bài 6: Tìm max của : B = [TEX]\sqrt{9- x^2} + \sqrt{3+x} + \sqrt{3-x}[/TEX]
với l x l \leq 3

 

[kjngstars]

Mình không biết gõ công thức toán, bạn chịu khó đọc nhé.Mình giúp bạn 2 câu nha.
Câu 1: Đặt VT BĐT cần cm là A.
căn(a+b) + căn (b+c) + căn(c+a) =căn(3/2)((căn(2/3(a+b)) +căn(2/3(b+c)) +căn(2/3(c+a))).
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si, ta có: căn(2/3(a+b)) <= 1/3 + (a+b)/2, ta chứng mình tương tự sau đó cộng vế theo bất BĐT ta được A<=căn(3/2)(a+b+c+1/3+1/3+1/3) =2.căn(3/2) =căn 6 (đpcm).

Câu 2:
a.căn(b-1) +b.căn(a-1) <= ab, do a,b >1 chia 2 vế cho ab ta được:

(căn(b-1))/b +(căn(a-1))/a <=1 ((*)). VT <=>căn(1/b(1-1/b)) +căn(1/a(1-1/a) .
Đặt VT ((*)) là A.

Áp dụng BĐT Cô-Si, ta có: căn(1/b(1-1/b)) <= (1/b +1 -1/b)/2, tương tự ta cm được căn(1/a(1-1/a) <= (1/a +1 -1/a)/2
Cộng vế theo vế 2 BĐT vừa cm trên ta được A <= 1/2 +1/2 =1 (đpcm)

 

[g_dragon88]

Cảm ơn cậu, nếu có thể phiền cậu giúp mình mấy phần còn lại............

 

[nguyenbahiep1]

Cảm ơn cậu, nếu có thể phiền cậu giúp mình mấy phần còn lại............

câu 3

[laTEX]M = \frac{\sqrt{a-3}}{a} + \frac{\sqrt{b-4}}{b} + \frac{\sqrt{c-2}}{c} \\ \\ \frac{\sqrt{a-3}}{a} = \frac{\sqrt{3.(a-3)}}{a.\sqrt{3}} \leq \frac{3+a-3}{2.a.\sqrt{3}} = \frac{1}{2.\sqrt{3}} \\ \\ \frac{\sqrt{b-4}}{b} \leq \frac{1}{4} \\ \\ \frac{\sqrt{c-2}}{c} \leq \frac{1}{2.\sqrt{2}} \\ \\ \Rightarrow M \leq \frac{1}{2.\sqrt{3}} + \frac{1}{4}+ \frac{1}{2.\sqrt{2}} \\ \\ a = 3 , b = 4 , c = 2[/laTEX]