Toán [Bài tập] Chuyên đề HSG: Phương trình vô tỷ

[Quan912]

Tiếp tục 2 câu này nha các bạn!
3) $\sqrt[3]{x^2 -x -1} + x^2 + 2 = \sqrt[3]{2x - 3} +3x$
4) $(x+4)\sqrt{x+3} + x^3 = x^2 +x + 9$

Em mới làm đc câu 3 ạ còn câu 4 em bí r ạ. Cho em hỏi là mình chỉ cần xét đk của 1 bằng

Spoiler: Đáp án

[tex]\sqrt{2x-3}[/tex] thôi đc roi đúng k chị. Chị giúp em với
3) $\sqrt[3]{x^2 -x -1} + x^2 + 2 = \sqrt[3]{2x - 3} +3x$
[tex]dk:x^2-x-1 \geq 0; 2x-3\geq 0 \Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2-x-1}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2-x-1} +x^2-3x+2-\sqrt[3]{2x-3}=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{x^2-x-1-2x+3}{\sqrt[3]{x^2-x-1}+\sqrt[3]{2x-3}}+x^2-3x+2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{x^2-3x+2}{\sqrt[3]{x^2-x-1}+\sqrt[3]{2x-3}}+x^2-3x+2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x^2-3x+2)(\frac{1}{\sqrt[3]{x^2-x-1}+\sqrt[3]{2x+3}}+1)=0[/tex]
TH1:
[tex]x^2-3x+2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-1)(x-2)=0[/tex]
[tex]x=1(L) hay x=2(N)[/tex]
TH2 :Em chưa biết làm khúc này ạ

 

[Ác Quỷ]

Spoiler

4.
[tex]\sqrt{(x+4)^{2}(x+3)} + (-x-9) + x^{3}-x^{2}= 0[/tex] [tex]\sqrt{x^{3}+11x^{2}+40x+48} -(x+9)+ x^{2}(x-1)=0[/tex] [tex]\frac{x^{3}+10x^{2}+22x-33}{\sqrt{x^{3}+11x^{2}+40x+48}+(x+9)}+x^{2}(x-1)=0[/tex]
[tex](X-1)(\frac{x^{2}+11x+33}{\sqrt{x^{3}+11x^{2}+40x+48}+(x+9)}+x^{2})=0[/tex]
[x=1,[tex]X^{2}+11x+33 = x^{2}+2.\frac{11}{22}x +\frac{121}{4}+\frac{11}{4}[/tex]
[tex](X+\frac{11}{2})^{2}+\frac{11}{4}\geq \frac{11}{4}> 0[/tex]
=> [tex]\frac{x^{2}+11x+33}{\sqrt{x^{3}+11x^{2}+40x+48}+x+9}+x^{2}> 0[/tex] ( vô nghiệm)
=> x=1 là nghiệm pt

 

[HMF Toán học]

Em mới làm đc câu 3 ạ còn câu 4 em bí r ạ. Cho em hỏi là mình chỉ cần xét đk của 1 bằng

Spoiler: Đáp án

[tex]\sqrt{2x-3}[/tex] thôi đc roi đúng k chị. Chị giúp em với
3) $\sqrt[3]{x^2 -x -1} + x^2 + 2 = \sqrt[3]{2x - 3} +3x$
[tex]dk:x^2-x-1 \geq 0; 2x-3\geq 0 \Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2-x-1}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2-x-1} +x^2-3x+2-\sqrt[3]{2x-3}=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{x^2-x-1-2x+3}{\sqrt[3]{x^2-x-1}+\sqrt[3]{2x-3}}+x^2-3x+2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{x^2-3x+2}{\sqrt[3]{x^2-x-1}+\sqrt[3]{2x-3}}+x^2-3x+2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x^2-3x+2)(\frac{1}{\sqrt[3]{x^2-x-1}+\sqrt[3]{2x+3}}+1)=0[/tex]
TH1:
[tex]x^2-3x+2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-1)(x-2)=0[/tex]
[tex]x=1(L) hay x=2(N)[/tex]
TH2 :Em chưa biết làm khúc này ạ

Em nhân liên hợp bị sai rồi
Phép liên hợp của nó là như này nha e: [imath]\sqrt[3]{f(x)} - \sqrt[3]{g(x)} = \dfrac{f(x) - g(x)}{\sqrt[3]{f^2(x)} + \sqrt[3]{f(x)g(x)} + \sqrt[3]{g^2(x)}}[/imath]
ĐKXĐ : R
[imath]\sqrt[3]{x^2 -x -1} + x^2 + 2 = \sqrt[3]{2x - 3} +3x[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2 -x -1} - \sqrt[3]{2x -3} + x^2 - 3x + 2 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{x^2 - 3x + 2}{A^2 + AB + B^2} + x^2 - 3x +2 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow ( x^2 - 3x + 2) \left (\dfrac{1}{{A^2 + AB + B^2}} + 1 \right )= 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^2 -3x +2 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x =1 \\ x =2 \end{matrix}\right.[/imath]
(Vì [imath]\dfrac{1}{{A^2 + AB + B^2}} + 1 > 1[/imath] )

Spoiler

4.
[tex]\sqrt{(x+4)^{2}(x+3)} + (-x-9) + x^{3}-x^{2}= 0[/tex] [tex]\sqrt{x^{3}+11x^{2}+40x+48} -(x+9)+ x^{2}(x-1)=0[/tex] [tex]\frac{x^{3}+10x^{2}+22x-33}{\sqrt{x^{3}+11x^{2}+40x+48}+(x+9)}+x^{2}(x-1)=0[/tex]
[tex](X-1)(\frac{x^{2}+11x+33}{\sqrt{x^{3}+11x^{2}+40x+48}+(x+9)}+x^{2})=0[/tex]
[x=1,[tex]X^{2}+11x+33 = x^{2}+2.\frac{11}{22}x +\frac{121}{4}+\frac{11}{4}[/tex]
[tex](X+\frac{11}{2})^{2}+\frac{11}{4}\geq \frac{11}{4}> 0[/tex]
=> [tex]\frac{x^{2}+11x+33}{\sqrt{x^{3}+11x^{2}+40x+48}+x+9}+x^{2}> 0[/tex] ( vô nghiệm)
=> x=1 là nghiệm pt

Câu của em đúng rồi nha , mà sau trình bày đẹp hơn tí là oke. À nhớ có ĐKXĐ nữa em nhé ^^

 

[HMF Toán học]

Hi các bạn Bài tập cuối tuần nào
Test thử kĩ thuật truy ngược dấu nha các bạn
$3x^2 + 14x + 13 = (x+1)\sqrt{4x+5} + 2(x+5)\sqrt{x+3}$

 

[HMF Toán học]

Tiếp tục bài tập đặt ẩn phụ nha các bạn
1) $\sqrt{x^2 + x + 1} = 5 - x^2 -x$
2) $\dfrac{7x}{x-4} = 3.\sqrt{\dfrac{3x+2}{x-4}}$

Câu ptvt trên các bạn vẫn tiếp tục làm nha
Nếu không được thì mình sẽ chữa trong tuần này

 

[Darkness Evolution]

Hi các bạn Bài tập cuối tuần nào
Test thử kĩ thuật truy ngược dấu nha các bạn
$3x^2 + 14x + 13 = (x+1)\sqrt{4x+5} + 2(x+5)\sqrt{x+3}$

Spoiler

ĐKXĐ: $x \ge \frac{-5}{4}$
Ta có $3x^2 + 14x + 13 = (x+1)\sqrt{4x+5} + 2(x+5)\sqrt{x+3}$
$\Leftrightarrow x^2+3x+2-(x+1)\sqrt{4x+5}+x^2+8x+15-2(x+5)\sqrt{x+3}+x^2+3x-4=0$
$\Leftrightarrow (x+1)(x+2-\sqrt{4x+5})+ (x+5)\sqrt{x+3}(\sqrt{x+3}-2)+(x-1)(x+4)=0$
[tex]\Leftrightarrow \frac{(x+1)[(x+2)^2-(4x+5)]}{x+2+\sqrt{4x+5}}+\frac{2(x+5)\sqrt{x+3}(x+3-4)}{\sqrt{x+3}+2}+(x-1)(x+4)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{(x+1)(x^2-1)}{x+2+\sqrt{4x+5}}+\frac{2(x+5)\sqrt{x+3}(x-1)}{\sqrt{x+3}+2}+(x-1)(x+4)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-1)[ \frac{(x+1)^2}{x+2+\sqrt{4x+5}}+\frac{2(x+5)\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+3}+2}+x+4]=0[/tex]
Dễ thấy, $\frac{(x+1)^2}{x+2+\sqrt{4x+5}}+\frac{2(x+5)\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+3}+2}+x+4 >0 \forall x \ge \frac{-5}{4}$
Do đó, $x-1=0 \Leftrightarrow x=1$
Phương trình có nghiệm $x=1$

(Vừa phải học lại skill truy ngược dấu :> )

 

[HMF Toán học]

Spoiler

ĐKXĐ: $x \ge \frac{-5}{4}$
Ta có $3x^2 + 14x + 13 = (x+1)\sqrt{4x+5} + 2(x+5)\sqrt{x+3}$
$\Leftrightarrow x^2+3x+2-(x+1)\sqrt{4x+5}+x^2+8x+15-2(x+5)\sqrt{x+3}+x^2+3x-4=0$
$\Leftrightarrow (x+1)(x+2-\sqrt{4x+5})+ (x+5)\sqrt{x+3}(\sqrt{x+3}-2)+(x-1)(x+4)=0$
[tex]\Leftrightarrow \frac{(x+1)[(x+2)^2-(4x+5)]}{x+2+\sqrt{4x+5}}+\frac{2(x+5)\sqrt{x+3}(x+3-4)}{\sqrt{x+3}+2}+(x-1)(x+4)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{(x+1)(x^2-1)}{x+2+\sqrt{4x+5}}+\frac{2(x+5)\sqrt{x+3}(x-1)}{\sqrt{x+3}+2}+(x-1)(x+4)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-1)[ \frac{(x+1)^2}{x+2+\sqrt{4x+5}}+\frac{2(x+5)\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+3}+2}+x+4]=0[/tex]
Dễ thấy, $\frac{(x+1)^2}{x+2+\sqrt{4x+5}}+\frac{2(x+5)\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+3}+2}+x+4 >0 \forall x \ge \frac{-5}{4}$
Do đó, $x-1=0 \Leftrightarrow x=1$
Phương trình có nghiệm $x=1$
(Vừa phải học lại skill truy ngược dấu :> )

Chúc mừng em, chuẩn rồi nha
Em và các bạn tiếp tục 2 câu này nha

Tiếp tục bài tập đặt ẩn phụ nha các bạn
1) $\sqrt{x^2 + x + 1} = 5 - x^2 -x$
2) $\dfrac{7x}{x-4} = 3.\sqrt{\dfrac{3x+2}{x-4}}$

Câu ptvt trên các bạn vẫn tiếp tục làm nha
Nếu không được thì mình sẽ chữa trong tuần này

 

[Darkness Evolution]

Tiếp tục bài tập đặt ẩn phụ nha các bạn
1) $\sqrt{x^2 + x + 1} = 7 - x^2 -2x$
2) $\dfrac{7x}{x-4} = 3.\sqrt{\dfrac{3x+2}{x-4}}$

Câu ptvt trên các bạn vẫn tiếp tục làm nha
Nếu không được thì mình sẽ chữa trong tuần này

1) VP là -x hay -2x vại?
2)

Spoiler: idk

$\dfrac{7x}{x-4} = 3.\sqrt{\dfrac{3x+2}{x-4}}$
(ĐKXĐ: $x\le \frac{-3}{2}$ hoặc $x >4$)
Ta có $\dfrac{7x}{x-4} = 3.\sqrt{\dfrac{3x+2}{x-4}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{6x+4}{x-4}+1= 3.\sqrt{\dfrac{3x+2}{x-4}}$
Đặt $\sqrt{\dfrac{3x+2}{x-4}} =a (a \ge 0)$
Thì ta có $2a^2+1=3a$
$\Leftrightarrow (2a-1)(a-1)=0$
$\Leftrightarrow a=\frac{1}{2} $hoặc $a=1$
...
(Còn đoạn giải ra giá trị của x thì tha cho iem, iem lười quá :>>)

 

[HMF Toán học]

Tiếp tục bài tập đặt ẩn phụ nha các bạn
1) $\sqrt{x^2 + x + 1} = 5 - x^2 -x$
2) $\dfrac{7x}{x-4} = 3.\sqrt{\dfrac{3x+2}{x-4}}$

Câu ptvt trên các bạn vẫn tiếp tục làm nha
Nếu không được thì mình sẽ chữa trong tuần này

1)
[imath]\sqrt{x^2 + x + 1} = 5 - x^2 -x[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^2 + x -5 + \sqrt{x^2 + x + 1} = 0[/imath]
Đặt [imath]\sqrt{x^2 + x + 1} = t[/imath]
pt [imath]\Leftrightarrow t^2 + t -6 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} t = -3 (loại) \\ t = 2 \end{matrix}\right.[/imath]
Khi [imath]t = 2 \Leftrightarrow x^2 + x +1 = 4 \Leftrightarrow x^2 + x - 3 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}[/imath]
Vậy ...

2) ĐKXĐ: [imath]\dfrac{3x+2}{x-4} \geq 0[/imath]
[imath]\dfrac{7x}{x-4} = 3.\sqrt{\dfrac{3x+2}{x-4}}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{7x}{x-4} - 3.\sqrt{\dfrac{3x+2}{x-4}} = 0[/imath]
Đặt [imath]\sqrt{\dfrac{3x+2}{x-4}} = t[/imath]
Pt [imath]\Leftrightarrow 2t^2 + 1 - 3t = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} t = 1\\ t = \dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.[/imath]
TH1: [imath]t = 1 \Leftrightarrow 3x + 2 = x - 4 \Leftrightarrow x = -3[/imath]
TH2: [imath]t = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 6x + 4 = x - 4 \Leftrightarrow x = \dfrac{-8}{5}[/imath]
Vậy ...

 

[HMF Toán học]

Tiếp tục 2 câu mới nè mn
1) $(3x +2)\sqrt{2x-3} = 2x^2 +3x - 6$
2) $\sqrt[4]{x+8} + \sqrt[4]{x-7} =3$

 

[Ác Quỷ]

Tiếp tục 2 câu mới nè mn
1) $(3x +2)\sqrt{2x-3} = 2x^2 +3x - 6$
2) $\sqrt[4]{x+8} + \sqrt[4]{x-7} =3$

Bài hai em chịu =))

 

[HMF Toán học]

Tiếp tục 2 câu mới nè mn
1) $(3x +2)\sqrt{2x-3} = 2x^2 +3x - 6$
2) $\sqrt[4]{x+8} + \sqrt[4]{x-7} =3$

1) ĐKXĐ: [imath]x \geq \dfrac{3}{2}[/imath]
Đặt [imath]\sqrt{2x -3} = t[/imath] ([imath]t \geq 0[/imath]) [imath]\Rightarrow x = \dfrac{t^2 +3}{2}[/imath]
Phương trình trở thành:
[imath]\left (3.\dfrac{t^2 +3}{2}+2 \right). t = 2.\left (\dfrac{t^2 +3}{2} \right)^2 +3.\left ( \dfrac{t^2 +3}{2} \right) -6[/imath]
[imath]\Leftrightarrow t^4 - 3t^3 +9t^2 -13t +6 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (t-1)^2(t^2 -t +6) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow t = 1[/imath]
Khi đó [imath]x = 2[/imath] (thỏa mãn)

2) ĐKXĐ: [imath]x \geq 7[/imath]
Đặt [imath]\sqrt[4]{x-7} = t (t \geq 0) \Rightarrow x = t^4 + 7[/imath]
Phương trình [imath]\Leftrightarrow \sqrt[4]{t^4+15} = 3 -t[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3 - t \geq 0\\ t^4 +15 = (3-t)^4\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t \leq 3\\ 2t^3 - 9t^2 +18t -11 = 0 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}t \leq 3\\ (t-1)(2t^2 -7t +11) = 0 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow t = 1[/imath]
Thay lại ta có [imath]x = 8[/imath] ( Thỏa mãn)

 

[HMF Toán học]

Cả nhà test thử 2 câu dạng đưa về phương trình đồng bậc nha
1) $6x^2 - 16x + 2 = 11\sqrt{(x-2)(x^2-1)}$
2) $5\sqrt{x^3 +1} = 2(x^2 +2)$

 

[HMF Toán học]

Bài hai em chịu =))

1) ĐKXĐ: $x \geq \dfrac{3}{2}$
Đặt $\sqrt{2x -3} = t$ ($t \geq 0$) $\Rightarrow x = \dfrac{t^2 +3}{2}$
Phương trình trở thành:
$\left (3.\dfrac{t^2 +3}{2}+2 \right). t = 2.\left (\dfrac{t^2 +3}{2} \right)^2 +3.\left ( \dfrac{t^2 +3}{2} \right) -6 \\
\Leftrightarrow t^4 - 3t^3 +9t^2 -13t +6 = 0\\
\Leftrightarrow (t-1)^2(t^2 -t +6) = 0 \\
\Leftrightarrow t = 1$
Khi đó $x = 2$ (thỏa mãn)

2) ĐKXĐ: $x \geq 7$
Đặt $\sqrt[4]{x-7} = t (t \geq 0) \Rightarrow x = t^4 + 7$
Phương trình $\Leftrightarrow \sqrt[4]{t^4+15} = 3 -t \\
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3 - t \geq 0\\ t^4 +15 = (3-t)^4\end{matrix}\right.\\
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t \leq 3\\ 2t^3 - 9t^2 +18t -11 = 0 \end{matrix}\right.\\
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}t \leq 3\\ (t-1)(2t^2 -7t +11) = 0 \end{matrix}\right.\\
\Leftrightarrow t = 1$
Thay lại ta có $x = 8$ ( Thỏa mãn)

Em tham khảo cách bài 2 đây nha

Cùng test thử 2 câu này trước khi chị chữa bài nha

Cả nhà test thử 2 câu dạng đưa về phương trình đồng bậc nha
1) $6x^2 - 16x + 2 = 11\sqrt{(x-2)(x^2-1)}$
2) $5\sqrt{x^3 +1} = 2(x^2 +2)$